The Elemers Theorem und Produkterschöpfungsproblem

The Eulers Theorem und Produkterschöpfungsproblem!

Sobald behauptet wurde, dass die Produktionsfaktoren gleich den Grenzprodukten bezahlt werden, tauchte ein schwieriges Problem auf, über das unter den berühmten Ökonomen eine ernsthafte Debatte stattfand. Das schwierige Problem, das sich stellte, ist, dass das Gesamtprodukt nur dann erschöpft wäre, wenn alle Faktoren gleich den Grenzprodukten belohnt würden.

Mit anderen Worten, wenn jeder Faktor gleich seinem Grenzprodukt belohnt wird, sollte das gesamte Produkt ohne Überschuss oder Defizit entsorgt werden. Das Problem, zu beweisen, dass die gesamte Produktion einfach erschöpft ist, wenn alle Faktoren gleich den Grenzprodukten belohnt werden, wurde als "Problem beim Addieren" oder als Problem bei der Produkterschöpfung bezeichnet.

Die beiden Lösungen für das Problem der Produkterschöpfung wurden vorgelegt. Erstens wurde von PH Wicksteed eine wichtige Lösung vorgeschlagen, die den Betrieb konstanter Skalenerträge in der Produktion annahm (d. H. Die homogene Produktionsfunktion ersten Grades) und die Euler-Theorie anwendete, um das Problem der Produkterschöpfung zu beweisen.

Die zweite wichtige Lösung wurde von JR Hicks und RA bereitgestellt. Samuleson, der ein perfektes Wettbewerbsmodell zur Bestimmung der Produkt- und Faktorpreise verwendete, um das Problem der Produkterschöpfung zu beweisen. Im Folgenden werden diese Lösungen des Produkterschöpfungsproblems diskutiert.

Wicksteeds Lösung des Produkterschöpfungsproblems mit dem Satz von Euler:

Philip Wicksteed war einer der ersten Ökonomen, der dieses Problem stellte und eine Lösung dafür bot. Wicksteed wendete einen mathematischen Satz mit dem Namen Euler's Theorem an, um zu beweisen, dass das Gesamtprodukt nur erschöpft ist, wenn alle Faktoren gleich den Grenzprodukten bezahlt werden.

Sei Q für die Gesamtleistung des Produkts, a steht für den Faktor Arbeit und b steht für den Faktor Kapital und c steht für Land. Angenommen, es werden nur drei Faktoren für die Produktion verwendet. Dann impliziert das Additionsproblem, dass

Q = MP _a xa + MP _a X b + MP _c xc

Das Grenzprodukt von Faktor a, multipliziert mit dem Betrag von Faktor a, plus dem Grenzprodukt von Faktor b, multipliziert mit dem Betrag von Faktor b, plus dem Grenzprodukt von Faktor c, multipliziert mit dem Betrag von Faktor c, entspricht dem Gesamtprodukt von Feste. Grenzprodukte verschiedener Faktoren können als partielle Ableitungen ausgedrückt werden. So kann das Grenzprodukt der Arbeit (dh Faktor a) als ∂W / ∂a und das Grenzprodukt des Kapitals (Faktor b) als ∂W / ∂b und das Grenzprodukt von Land (Faktor c) als ausgedrückt werden ∂W / ∂c. Damit das Additionsproblem (dh das Problem der Produkterschöpfung) erfüllt ist, muss die folgende Gleichung gelten:

Nun heißt es im Satz von Euler, dass, wenn die Produktionsfunktion eine homogene Funktion des ersten Grades ist, das heißt, wenn in Q = f (a, b, c) für jede Erhöhung der Variablen a, b und c der Betrag n gilt Ausgang Q steigt ebenfalls um n, dann ist Q gleich der Gesamtsumme der partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion in Bezug auf verschiedene Faktoren, multipliziert mit den Beträgen der jeweiligen Faktoren.

Die homogene Funktion des ersten Grades oder der linearen homogenen Funktion wird in folgender Form geschrieben:

nQ = f (na, nb, nc)

Nach dem Satz von Euler für diese lineare homogene Funktion:

Wenn also die Produktionsfunktion vom ersten Grad an homogen ist, dann ist das Gesamtprodukt laut Eulers Theorem:

Wenn Q das Gesamtprodukt und ∂W / ∂a darstellt, sind ∂W / ∂b, ∂W / ∂c partielle Ableitungen der Produktionsfunktion und stellen daher die Grenzprodukte von Arbeit, Kapital bzw. Land dar. Daraus folgt, dass dann, wenn die Produktionsfunktion vom ersten Grad an homogen ist (d. H. Wenn konstante Skalenerträge erzielt werden), die verschiedenen Faktoren a, b und c nach Eulers Theorem entsprechend ihren Grenzprodukten belohnt werden Das gesamte Produkt wird nur erschöpft sein, ohne Überschüsse oder Defizite.

Wir sehen also, dass der Satz von Euler die Produkterschöpfung erklären kann, wenn die Produktionsfunktion im ersten Grad homogen ist. Auf diese Weise bewies Wicksteed unter der Annahme konstanter Skalenerträge und der Anwendung des Satzes von Euler das Additionsproblem, d. H. Es zeigte sich, dass das Gesamtprodukt genau dann erschöpft ist, wenn alle Faktoren den Grenzprodukten entsprechen.

Eine Kritik an Eulers Theorem und der Lösung von Wicksteed:

Wicksteeds Lösung wurde von Walras, Barone, Edgeworth und Pareto kritisiert. Es wurde von diesen Autoren behauptet, dass die Produktionsfunktion des ersten Grades nicht homogen war; Skalenerträge sind in der tatsächlichen Welt nicht konstant. So kommentierte Edgeworth die Lösung von Wicksteed satirisch: „Diese Verallgemeinerung ist großartig und erinnert an die Jugend der Philosophie. Gerechtigkeit ist ein perfekter Würfel, sagte der alte Weise; und rationales Verhalten ist eine homogene Funktion, fügt der moderne Gelehrte hinzu. “

Kritiker wiesen darauf hin, dass die Produktionsfunktion eine U-förmige langfristige Durchschnittskostenkurve ergibt. Die U-Form der langfristigen Durchschnittskostenkurve impliziert, dass bis zu einem Punkt steigende Skalenerträge auftreten und nach deren Verringerung sich die Skalenerträge verringern.

Wenn ein Unternehmen immer noch mit steigenden Skalenerträgen arbeitet, würden alle Faktoren, die ihren Grenzprodukten entsprechen, den Gesamtfaktor übersteigen. Wenn dagegen ein Unternehmen mit sinkenden Skalenerträgen arbeitet und wenn alle Faktoren gleich den Grenzprodukten bezahlt werden, würde die Gesamtfaktorbelohnung das Gesamtprodukt nicht vollständig erschöpfen und führt daher zu einem Überschuss. Daraus folgt, dass der Satz von Euler nicht gilt und daher das Additionsproblem nicht gültig ist, wenn entweder steigende Skalenerhöhungen oder sinkende Skalenerträge vorhanden sind.

Ein weiterer Nachteil der Wicksteed-Lösung besteht darin, dass bei konstanten Skalenerträgen die Durchschnittskostenkurve der Firma mit langer Laufzeit eine horizontale gerade Linie ist, die mit perfektem Wettbewerb nicht vereinbar ist. (Bei einer horizontalen langfristigen Durchschnittskostenkurve kann das Unternehmen keine bestimmte Gleichgewichtsposition haben.) Ein perfekter Wettbewerb war jedoch für die marginale Produktivitätstheorie und damit für die Lösung von Wicksteed unerlässlich. So führt uns die Wicksteed-Lösung zu zwei widersprüchlichen Dingen.

Wicksell, Walras und Barones Lösung des Produktions-Erschöpfungsproblems:

Nach Wicksteed stellten Wicksell, Walras und Barone, unabhängig voneinander, eine zufriedenstellendere Lösung für das Problem vor, dass geringfügig bestimmte Faktorbelohnungen nur das gesamte Produkt erschöpfen würden. Diese Autoren gehen davon aus, dass die typische Produktionsfunktion des ersten Grades nicht homogen war, sondern die U-förmige langfristige Durchschnittskostenkurve ergab.

Sie wiesen darauf hin, dass sich die Firma langfristig unter perfekter Konkurrenz auf dem Minimum der langfristigen Durchschnittskostenkurve im Gleichgewicht befand. Am minimalen Punkt der langfristigen Durchschnittskostenkurve sind die Renditen für den Moment momentan konstant, d. H. Die Skalenerträge sind innerhalb des Bereichs kleiner Abweichungen der Ausgabe konstant.

Damit war die Voraussetzung, dass die marginal ermittelten Gewinne das gesamte Produkt erschöpfen sollten, dh konstante Skalenerträge, am Mindestpunkt der langfristigen Durchschnittskostenkurve erfüllt, wo sich ein perfekt konkurrenzfähiges Unternehmen auf lange Sicht befindet Gleichgewicht. Im Falle eines perfekt langfristigen Gleichgewichts kann daher der Euler-Theorem angewendet werden, und wenn die Faktoren mit Belohnungen belohnt werden, die ihren Grenzprodukten entsprechen, wäre das gesamte Produkt genau erschöpft.

Hicks-Samuelsons Lösung für das Problem der Produkterschöpfung :

Nach Wicksell, Walras und Barone lieferten JR Hicks und PA Samuelson eine zufriedenstellendere Lösung für das Problem des Problems der Produkterschöpfung. Der grundlegende Punkt, der bei ihrer Lösung zu beachten ist, ist die Tatsache, dass die Marktbedingungen eines perfekten Wettbewerbs mit seinem wichtigen Merkmal des langfristigen wirtschaftlichen Nullgewinns und nicht die erst gradhomogene Produktionsfunktion dafür sorgen, dass die Faktoren gleich bezahlt werden Bei Grenzprodukten wäre das Gesamtwertprodukt nur erschöpft.

In einer vollkommen wettbewerbsfähigen Marktstruktur erzielen Unternehmen weder wirtschaftlichen Gewinn noch Verluste. So wird die Lösung des Problems der Produkterschöpfung im Fall von Unternehmen, die auf Märkten mit wettbewerbsfähigen Faktoren tätig sind, in denen die Faktoren gleich den Grenzprodukten bezahlt werden, durch einen perfekten Wettbewerb auf den Produktmärkten langfristig zu keinen wirtschaftlichen Gewinnen führen. Betrachten Sie Abbildung 32.15, in der sich ein perfekt konkurrenzfähiges Unternehmen im langfristigen Gleichgewicht am Mindestpunkt der langfristigen Durchschnittskostenkurve befindet.

Das Gesamtwertprodukt, das das Unternehmen in diesem langfristigen Gleichgewicht produziert, entspricht der Fläche OPEQ. Da der Preis OP bei diesem langfristigen Gleichgewichtsausstoß mit den reinen Profiten gleich den durchschnittlichen Kosten (AC) ist, entspricht das Gesamtwertprodukt (PQ) den Gesamtkosten (TC). Somit

Im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht:

Gesamtwertprodukt (PQ) = w.L + Kr… (1)

Nun erfordert die Grenzproduktivitätstheorie der Verteilung dies

w = VMP _L = P.MPP _L … (2)

r = VMP _K = P. MPP _K … (3)

Wo w und r die Preise für Arbeit und Kapital sind und MPP _L und MPP _K physikalische Grenzprodukte von Arbeit und Kapital sind und P der Preis des Produkts ist.

Wir setzen die Werte von w und r in Gleichung (1) ein

PQ = L. (P. MPP _L ) + K. (P. MPP _K )

Beide Seiten durch P zu teilen haben wir

Q = _L. MPP _L + K. MPP _K

Das heißt, wenn Arbeit und Kapital in Höhe ihrer geringfügigen physischen Produkte bezahlt werden, ist die Gesamtleistung nur noch erschöpft.

Es ist wichtig anzumerken, dass im Gegensatz zu den Lösungen von Wicksteed und von Wicksell, Walras und Barone die von Hicks und Samuelson bereitgestellte Lösung den Produkterschöpfungssatz beweist, ohne konstante Skalenerträge (dh eine homogene Produktionsfunktion ersten Grades) anzunehmen ohne Eulersatz zu verwenden. Sie beweisen dies, indem sie lediglich Bedingungen einer perfekten Marktstruktur voraussetzen.

Der Vorteil der Hicks-Samuleson-Lösung besteht darin, dass sie hervorhebt, wenn die Bedingungen eines perfekten Wettbewerbsmarktes nicht bestehen, dh wenn entweder Monopol- oder unvollkommener Wettbewerb auf dem Produktmarkt oder Monopson oder unvollständiger Wettbewerb auf dem Faktormarkt vorliegt, die angestellten Faktoren Sie erhalten keine Belohnung, die dem Wert ihrer Grenzprodukte entspricht, und werden daher von Unternehmern genutzt, die große wirtschaftliche Gewinne erzielen können.