Zentrale Tendenz: Bedeutung, Verwendung und Maße
Zentrale Tendenz: Bedeutung, Verwendung und Maße!
Bedeutung der zentralen Tendenz:
Maßnahmen der zentralen Tendenz sind eine Kombination aus zwei Wörtern, nämlich "Messen" und "zentrale Tendenz". Messen bedeutet Methoden und zentrale Tendenz bedeutet Durchschnittswert jeder statistischen Serie. Man kann also sagen, dass zentrale Tendenz die Methoden zum Ermitteln des zentralen Wertes oder Durchschnittswertes einer statistischen Reihe quantitativer Informationen bedeutet.
JP Guilford hat darauf hingewiesen, dass "ein Durchschnitt ein zentraler Wert einer Gruppe von Beobachtungen oder Einzelpersonen ist".
Laut Clark "Durchschnitt ist ein Versuch, eine einzige Figur zu finden, um die gesamte Figur zu beschreiben."
In den Worten von AE Waugh: „Ein Durchschnitt ist ein einzelner Wert, der aus einer Gruppe von Werten ausgewählt wird, um sie auf dieselbe Weise darzustellen - ein Wert, der für eine ganze Gruppe stehen soll, deren Teil er ist, was für alle Werte typisch ist in der Gruppe."
Man kann also sagen, dass eine durchschnittliche oder zentrale Tendenz eine einzelne Zahl ist, die aus einer gegebenen Verteilung berechnet wird, um eine zentrale Vorstellung von der gesamten Serie zu vermitteln. Der Mittelwert liegt innerhalb des Maximal- und Minimalwerts der Serie.
Verwendung der zentralen Tendenz:
Die zentrale Tendenz ist aus folgenden Gründen erforderlich:
1. Mittelwert liefert das Gesamtbild der Serie. Wir können uns nicht an jeden Sachverhalt erinnern, der sich auf ein Untersuchungsfeld bezieht.
2. Der Durchschnittswert liefert ein klares Bild des untersuchten Feldes zur Orientierung und zur notwendigen Schlussfolgerung.
3. Es beschreibt kurz die Leistung der Gruppe als Ganzes und ermöglicht es uns, zwei oder mehr Gruppen hinsichtlich ihrer typischen Leistung zu vergleichen.
Maße der zentralen Tendenz:
Es gibt drei Maßstäbe für die zentrale Tendenz:
(1) Das arithmetische Mittel.
(2) Der Median und
(3) Der Modus.
(1) Der Mittelwert (M):
Durchschnitt bedeutet für einen einfachen Mann das arithmetische Mittel. Es wird am häufigsten wegen seiner Einfachheit, Steifigkeit usw. verwendet.
Ein arithmetischer Durchschnitt ist definiert als der "Quotient, der durch Division der Summe der Werte einer Variablen durch die Gesamtzahl ihrer Beobachtungen oder Elemente erhalten wird".
II.E. Garett (1985 P) definiert "Das arithmetische Mittel oder einfach der Mittelwert ist die Summe der einzelnen Bewertungen oder Kennzahlen, dividiert durch ihre Anzahl."
Methoden zur Berechnung des Mittelwerts:
Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung des Mittelwerts. Aber hier wollen wir nur zwei Methoden diskutieren.
Sie sind wie folgt:
1. Direkte Methode oder Lange Methode.
2. Kurze Methode oder Angenommene Mittelmethode.
1. Direkte Methode oder Lange Methode:
Bei dieser Methode wird der Mittelwert direkt aus der angegebenen Serie berechnet. Bei dieser Methode können wir den Mittelwert aus den nicht gruppierten Daten und der Formel zur Berechnung des Mittelwerts aus den nicht gruppierten Daten berechnen.
Die Formel zur Berechnung des Mittelwerts aus nicht gruppierten Daten lautet:
Aus den gruppierten Daten wird der Mittelwert nach folgender Formel berechnet:
Illustration:
Berechnen Sie den Mittelwert aus den folgenden Häufigkeitsverteilungen direkt:
2. Kurzmethode oder angenommene Mittelmethode:
Es ist bekannt als Mittelwertmethode, da anstelle des Mittelwerts aus den Mittelpunkten der Mittelwert angenommen wird. Zuerst "raten" oder nehmen wir einen Mittelwert an und korrigieren diesen angenommenen Wert, um den genauen Wert zu ermitteln.
Die Formel zur Ermittlung des Mittelwerts in der angenommenen Mittelwertmethode ist unten angegeben:
Im Folgenden werden die Schritte zur Berechnung des Mittelwerts in der Kurzmethode erläutert:
Schritt 1:
Nehmen Sie einen beliebigen Mittelpunkt der Verteilung als Mittelwert an. Der beste Plan ist jedoch, den Mittelpunkt eines Intervalls in der Nähe des Zentrums zu nehmen, das die größte Frequenz hat.
Schritt 2:
Finden Sie die x-Spalte heraus, x ist die Abweichung zwischen der Punktzahl und dem angenommenen Mittelwert.
Hier können wir x 'anhand der folgenden Formel herausfinden:
Schritt 3:
Finden Sie die fx- Spalte heraus. Sie wird durch Multiplikation der Spalte f mit der Spalte x 'ermittelt.
Schritt 4:
Finde ∑ f x heraus. Addieren Sie alle positiven und negativen Werte getrennt. Dann finde die algebraische Summe heraus, die ∑ f x ist.
Schritt 5:
Ermitteln Sie den Mittelwert anhand der Formel 9.4.
Illustration:
Ermitteln Sie den Mittelwert der Verteilung in der angenommenen Mittelwertmethode.
In einem Test der Mathematik wurden die Noten der 50 Studenten in der folgenden Verteilung präsentiert:
Hier haben wir 44, 5 als Mittelwert von Ci 40-49 angenommen. Jetzt können wir den Mittelwert anhand der Formel-8.4 ermitteln.
Kombinierter Mittelwert:
Die getrennten Mittel einer Reihe verschiedener Serien können das kombinierte arithmetische Mittel aller verschiedenen Serien erzeugen, wenn die Anzahl der Elemente in jeder dieser Serien angegeben ist. Dies wird durch die folgende Formel berechnet, wenn die Anzahl der Gruppen n ist.
Illustration:
Im Folgenden wird der Mittelwert der Schüler der VI-Klasse von 4 Schulen angegeben. Was ist der Durchschnitt von VI-Schülern im Allgemeinen?
Wir können das kombinierte Mittel aus der Formel 9.5 herausfinden:
Der Mittelwert aller Schüler der VI-Klasse beträgt also 55, 25.
Verwendung des Mittelwerts:
Es gibt bestimmte allgemeine Regeln für die Verwendung des Mittelwerts. Einige dieser Anwendungen sind wie folgt:
1. Der Mittelwert ist der Schwerpunkt in der Verteilung, und jede Bewertung trägt zur Bestimmung bei, wenn die Verteilung der Bewertungen symmetrisch um einen zentralen Punkt liegt.
2. Der Mittelwert ist stabiler als der Median und der Modus. Wenn also das Maß der zentralen Tendenz mit der größten Stabilität gewünscht wird, wird der Mittelwert verwendet.
3. Der Mittelwert wird verwendet, um andere Statistiken wie SD, Korrelationskoeffizient, ANOVA, ANCOVA usw. zu berechnen.
Verdienste des Mittelwerts:
1. Der Mittelwert ist starr definiert, so dass kein Missverständnis über seine Bedeutung und sein Wesen in Frage kommt.
2. Es ist die beliebteste zentrale Tendenz, da es leicht zu verstehen ist.
3. Es ist leicht zu berechnen.
4. Es enthält alle Bewertungen einer Verteilung.
5. Es wird von der Probenahme nicht beeinflusst, so dass das Ergebnis zuverlässig ist.
6. Der Mittelwert kann weiter algebraisch behandelt werden, so dass andere Statistiken wie Streuung, Korrelation und Schiefe den Mittelwert für die Berechnung erfordern.
Fehler des Mittels:
1. Der Mittelwert wird durch extreme Ergebnisse beeinflusst.
2. Mittelwert ist manchmal ein Wert, der in der Serie nicht vorhanden ist.
3. Manchmal gibt es absurde Werte. Zum Beispiel gibt es 41, 44 und 42 Schüler der Klassen VIII, IX und X einer Schule. Die durchschnittlichen Schüler pro Klasse sind also 42, 33. Das ist niemals möglich.
4. Bei offenen Klassenintervallen kann es nicht berechnet werden, ohne die Größe der offenen Klassen anzunehmen.
(2) Median:
Der Median ist ein weiteres Maß für die zentrale Tendenz. Dies ist ein Positionsmittelwert, da sein Wert in Bezug auf seine Position in der Wertespalte einer Serie bestimmt wird. Im Collins Dictionary of Statistics ist es definiert als "der mittlere Wert in einer Verteilung, unter und über denen Werte mit gleichen Gesamthäufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten liegen."
D. Patri (1996) definiert den Median „als den Wert des mittleren Elements einer Serie, die in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge angeordnet ist. Als solches teilt es eine Serie in zwei gleiche Teile. “
Der Median kann als ein Punkt in der Verteilung definiert werden, unter dem fünfzig Prozent der Fälle liegen und über dem fünfzig Prozent der Fälle liegen.
Berechnung des Medians aus nicht gruppierten Daten:
Bei nicht gruppierten Daten werden die Ergebnisse nach der Größe sortiert. Dann wird der Mittelpunkt herausgefunden, der der Median ist. In diesem Prozess treten zwei Situationen bei der Berechnung des Medians auf: (a) N ist ungerade (b) N ist gerade Zuerst werden wir diskutieren, wie der Median (Mdn) zu berechnen ist, wenn N ungerade ist.
Illustration:
In einer Klasse haben 9 Schüler in einem Vokabeltest folgende Noten erworben. Finden Sie den Median heraus.
Markierungen-6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9
In nicht gruppierten Daten
Lassen Sie uns diskutieren, wie Mdn berechnet wird, wenn N gerade ist.
Illustration:
Berechnen Sie das Mdn der folgenden Daten von 10 Schülern einer Rechtschreibprüfung in Englisch.
Markierungen = 7, 6, 8, 12, 7, 9, 11, 10, 13, 14
Um das Problem zu lösen, müssen wir die Größenordnung einhalten
6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Wenn wir nun die Formel 8.6 anwenden, erhalten wir;
Berechnung des Medians aus gruppierten Daten:
Wir wissen, dass der Median ein Punkt ist, der die Verteilung in zwei gleiche Hälften verteilt.
Die Formel zum Ermitteln des Medians aus gruppierten Daten lautet wie folgt:
Wobei L = Untergrenze der Mittelklasse.
Medianenklasse ist die Klasse, deren kumulative Häufigkeit größer ist als der Wert von N / 2, dh N / 2> cf (kumulative Häufigkeit)
N / 2 = die Hälfte der Gesamtpunktzahl.
F = kumulative Häufigkeit der Klasse intern unter der Mittelklasse.
fm = Häufigkeit der Mittelklasse.
i = Größe der Klasseninterna
Schritte zum Berechnen von mdn aus gruppierten Daten:
Schritt 1.
Berechnen Sie N / 2, dh 50% der Verteilung.
Schritt 2:
Berechnen Sie die kumulative Häufigkeit der Verteilung vom unteren Ende.
Schritt 3:
Finden Sie die MDN-Klasse heraus. Die kumulative Häufigkeit des Klassenintervalls, wobei N / 2> cf
Schritt 4:
Ermitteln Sie die kumulative Häufigkeit unterhalb der mdn-Klasse.
Schritt 5:
Finde heraus, fm . und geben Sie alle Werte in die Formel ein.
Illustration:
Ermitteln Sie den Median der Verteilung.
Im Folgenden werden die Noten von 40 Studenten in einem Test der Mathematik angegeben:
L = 59, 5. Weil N / 2, dh 20, in der kumulativen Häufigkeit des Klassenintervalls 60—61 enthalten ist und die genauen Grenzen von Ci = 59, 5–61, 5 sind.
F = 17. Die kumulative Häufigkeit unterhalb der mdn-Klasse.
fm = 7. Die genaue Häufigkeit der mdn-Klasse.
i = 2. Größe des Klassenintervalls.
Geben Sie nun den Wert in die Formel ein
Mdn der Verteilung beträgt 60, 63.
Mdn kann auch aus der oberen Grenze der Verteilung berechnet werden. Die Formel zum Ermitteln von mdn durch Festlegen von Obergrenzen lautet wie folgt.
Wobei U = Die Obergrenze der Mdn-Klasse.
F 1 = Die kumulative Häufigkeit des Klassenintervalls oberhalb der Mdn-Klasse.
fm = Häufigkeit der Mittelklasse.
i = Größe des Klassenintervalls.
Schritte:
Bei der Berechnung von Mdn aus der oberen Grenze besteht der einzige Unterschied darin, dass wir die kumulative Häufigkeit aus dem oberen Ende berechnen müssen.
Illustration:
U = 61, 5. Weil die kumulative Frequenz 23 N / 2, dh 20, enthält.
F = 16. Kumulative Häufigkeit des Klassenintervalls oberhalb der Mdn-Klasse.
fm = 7 Frequenz der Mittelklasse.
i = 2
Das Mdn ist 60, 36.
Es gibt auch einige Ausnahmefälle des Computing-Medians. Dies ist der Fall, wenn die Häufigkeitsverteilung Lücken enthält und wenn die Klassenintervalle offen sind. Zuallererst werden wir besprechen, wann Lücken in der Häufigkeitsverteilung bestehen.
Wenn aufeinander folgende 0 Frequenzen in den Klassenintervallen liegen, in denen Mdn liegt, tritt die Schwierigkeit auf, die Mdn-Klasse herauszufinden. In diesem Fall addieren wir die 0 Frequenzintervalle zu den obigen und den unteren Klassenintervallen.
Die folgende Abbildung erklärt den Vorgang klar:
Illustration:
Finden Sie das Mdn der folgenden Serie heraus:
L = 49, 5. Die Untergrenze des Ci, wenn der Ci größer als N / 2 ist.
F = 4 Cf des Ci unterhalb der Mdn-Klasse
f m = 2. Die Häufigkeit der Mdn-Klasse.
i = 10. Größe des Ci
Setzen Sie die Werte in die Formel 8.7.
Das Mdn der Verteilung ist also 57.
Die zweite Situation ist die, wenn in beiden Enden Klassenintervalle mit offenem Ende vorhanden sind. In diesem Fall können die offenen Enden offen gehalten oder in bestimmte Klassen umgewandelt werden. Eine Illustration ist unten angegeben.
Illustration:
30 Schüler haben folgende Noten in einem Mathematiktest erworben. 4 Schüler haben weniger als 10 Punkte erreicht. 6 Studenten haben Noten zwischen 10 und 20, 10 Studenten zwischen 20 und 30, 8 Studenten zwischen 30 und 40, 7 Studenten zwischen 40 und 50 und 3 Studenten über 50 gesichert.
L = 19, 5. Untergrenze der Mdn-Klasse, dh 20—30.
F = 10. Cf der Ci unterhalb der Mdn-Klasse.
fm = 10
i = 10
Mdn der Verteilung ist also 28, 5.
Verwendung von Median:
1. Der Medianwert wird verwendet, wenn der genaue Mittelpunkt der Verteilung oder der 50% -Punkt benötigt wird.
2. Wenn extreme Werte den Mittelwert zu diesem Zeitpunkt beeinflussen, ist der Median der beste Maßstab für die zentrale Tendenz.
3. Der Medianwert wird verwendet, wenn bestimmte Scores die zentrale Tendenz beeinflussen sollen, aber über sie ist nur bekannt, dass sie über oder unter dem Median liegen.
4. Der Medianwert wird verwendet, wenn die Klassen offen sind oder eine ungleiche Zellengröße haben.
Verdienste des Median:
1. Es ist leicht zu berechnen und zu verstehen.
2. Alle Beobachtungen sind für die Berechnung nicht erforderlich.
3. Extremwerte beeinflussen den Median nicht.
4. Sie kann aus offenen Serien bestimmt werden.
5. Sie kann aus ungleichen Klassenintervallen bestimmt werden.
Fehler des Medians:
1. Es ist nicht starr als Mittelwert definiert, da sein Wert nicht berechnet, sondern lokalisiert werden kann.
2. Sie enthält nicht alle Beobachtungen.
3. Es kann nicht wie der Mittelwert weiter algebraisch behandelt werden.
4. Es erfordert die Anordnung der Scores oder Klassenintervalle in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge.
5. Manchmal wird ein Wert erzeugt, der nicht in der Serie enthalten ist.
(3) Modus:
Der Modus ist die am häufigsten vorkommende Bewertung in einer Verteilung. Im Durchschnitt stellt es den typischsten Wert einer Serie dar, der fast mit den vorhandenen Elementen übereinstimmt. Es wird nie von extremen Ergebnissen beeinflusst, sondern von den extremen Häufigkeiten der Werte. Um den Modus zu bestimmen, gibt es verschiedene Methoden.
Einige der wichtigsten Methoden werden im Folgenden beschrieben:
Methoden zur Bestimmung des Modus:
1. Inspektionsmethode
2. Gruppierungsmethode
3. Methode der empirischen Beziehung
1. Inspektionsmethode:
Bei dieser Methode wird der Modus nur durch Beobachtung bestimmt. Hier wird der Modus durch Beobachtung des am häufigsten auftretenden Scores oder des Klassenintervalls bestimmt, gegenüber dem die maximale Frequenz steht, als modale Klasse. Wenn zwei solcher Werte oder Klassenintervalle das gleiche Vorkommen oder die gleiche Häufigkeit haben, werden sowohl die Wertungen als auch die Klassenintervalle als Modus verwendet. ' Und die Verteilung wird als bi-modale Verteilung bezeichnet. Wenn mehr als zwei solcher Werte oder Klassenintervalle vorhanden sind, wird sie als multimodale Verteilung verwendet.
2. Gruppierungsmethode:
Wenn der Wertunterschied zwischen der höchsten Frequenz und der nächsthöchsten Frequenz zu diesem Zeitpunkt sehr niedrig ist, ist es nicht sicher, den Modus im Inspektionsverfahren zu bestimmen. In solchen zweifelhaften Fällen wurde Gruppierungsmethode verwendet.
Bei dieser Methode wird zunächst eine Gruppierungstabelle oder eine Anweisung zur Gruppierung der Frequenzen erstellt. In dieser Anweisung tragen Sie die Werte oder Werteklassen in die linke Spalte und die entsprechenden Häufigkeiten in die nächste Spalte ein. In der nächsten Spalte (2) gruppieren Sie die Frequenzen zu zweit ausgehend von der ersten Frequenz. Dann in der dritten Spaltengruppe die Frequenzen zu zweit ab der 2. Frequenz. In der nächsten Spaltengruppe werden die Frequenzen zu dritt, beginnend mit der 1. Frequenz.
In der nächsten Spaltengruppe werden die Frequenzen zu dritt, beginnend mit der 2. Frequenz. In der letzten Spaltengruppe sind die Frequenzen zu dritt, beginnend mit der 3. Frequenz. Sobald die Gruppierung beendet ist, identifizieren Sie die maximalen Zahlen jeder der 6 Spalten durch Setzen eines Kreises.
Im nächsten Schritt erstellen Sie eine Analysetabelle, um den modalen Wert oder die modale Klasse zu ermitteln. In dieser Tabelle werden wahrscheinliche modale Werte in der oberen horizontalen Linie unter den verschiedenen Spalten angezeigt, und die verschiedenen Spaltennummern werden auf der linken Seite der Tabelle angezeigt.
Die Werte, die die maximal gruppierten Frequenzen in der Gruppierungstabelle anzeigen, werden durch eine Markierung in der jeweiligen Spalte gekennzeichnet. Die Anzahl solcher Marken, die unter den Spalten mit den wahrscheinlichen Werten stehen, wird am Ende dieser Tabelle summiert. Der wahrscheinliche Wert, der das Maximum einer solchen Summe angibt, wird als der modale Wert der modalen Klasse identifiziert.
Die folgende Abbildung wird zum besseren Verständnis beitragen:
Illustration:
Die obige Analysetabelle zeigt, dass um die Bewertung 60 maximale Cluster, dh insgesamt 4, liegen. 60 ist also der modale Wert.
Wenn sich die Daten in der fortlaufenden Serie befinden, können Sie den Modus mithilfe der folgenden Formel berechnen:
Wobei M 0 = Modus
L 0 = Untergrenze der Modalklasse
f 2 = Häufigkeit der Klasse, die auf die modale Klasse folgt.
f 0 = Häufigkeit der Klasse vor der modalen Klasse.
i = Größe des Klassenintervalls
Illustration:
Aus den folgenden Daten bestimmen Sie den Modus:
Lösung:
Hier enthält das Klassenintervall 20—25 die höchste Häufigkeit. Damit kann es als modale Klasse betrachtet werden
Hier:
3. Methode der empirischen Beziehung:
Dies ist die effektivste Methode zur Bestimmung des Modus. Prof. Karl Pearson hat sich diese Methode vorgestellt. Prof. Pearson hat herausgefunden, dass in einer gemäßigt asymmetrischen oder verdrehten Serie eine relevante Beziehung zwischen dem Mittelwert, dem Median und dem Modus besteht. In solchen Serien beträgt der Abstand zwischen Mittelwert und Median 1/3 des Abstandes zwischen Mittelwert und Modus.
Illustration:
Finden Sie den Modus aus der oben angegebenen Verteilung heraus.
Lösung:
Der Mittelwert der Verteilung beträgt 25, 94
Der Median der Verteilung beträgt 23, 83
M 0 = 3 Median - 2 Mittelwert
M 0 = 3 × 23, 83 - 2 × 25, 94
= 71, 49–51, 88
= 19, 61 (ungefähr)
Verwendung des Modus:
Der Modus wird verwendet:
(i) Wenn wir eine schnelle und ungefähre Messung der zentralen Tendenz wünschen.
(ii) Wenn wir ein Maß an zentraler Tendenz wollen, das ein typischer Wert sein sollte. Zum Beispiel, wenn wir den typischen Kleidungsstil der indischen Frauen kennen lernen möchten, dh den beliebtesten Kleidungsstil. So werden die Durchschnittsnoten einer Klasse als modale Marken bezeichnet.
Vorzüge des Modus:
1. Modus gibt den repräsentativsten Wert einer Serie an.
2. Der Modus wird nicht durch extreme Werte wie den Mittelwert beeinflusst.
3. Es kann aus einem offenen Klassenintervall bestimmt werden.
4. Es hilft bei der Analyse qualitativer Daten.
5. Der Modus kann auch grafisch durch ein Histogramm oder ein Frequenzpolygon bestimmt werden.
6. Modus ist leicht zu verstehen.
Nachteile:
1. Modus ist nicht starr als Mittelwert definiert. In bestimmten Fällen kann es zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen.
2. Sie enthält nicht alle Beobachtungen einer Verteilung, sondern die Konzentration der Sendungen.
3. Eine weitere algebraische Behandlung kann nicht mit einem Mittelwert durchgeführt werden.
4. In multimodalen und bimodalen Fällen ist es schwer zu bestimmen.
5. Der Modus kann nicht aus ungleichen Klassenintervallen bestimmt werden.
6. Es gibt verschiedene Methoden und unterschiedliche Formeln, die unterschiedliche Modi-Ergebnisse liefern. Daher wird dies zu Recht als der am schlechtesten definierte Durchschnitt bezeichnet.
