Sentential Calculus: Symbolisierung, Wahrheitsfunktionen und ihre Interdefinierbarkeit

Sentential Calculus: Symbolisierung, Wahrheitsfunktionen und ihre Interdefinierbarkeit!

Symbolisierung - Der Wert besonderer Symbole:

In englischer Sprache oder in einer anderen natürlichen Sprache vorgebrachte Argumente sind oft schwer zu beurteilen, da die verwendeten Begriffe unbestimmt und unzweideutig sind, die Mehrdeutigkeit ihrer Konstruktion, die irreführenden Idiome, die sie enthalten können, ihr möglicherweise verwirrender metaphorischer Stil und die Ablenkung durch sie welche emotionale Bedeutung sie auch ausdrücken können.

Auch wenn diese Schwierigkeiten gelöst sind, bleibt das Problem der Feststellung der Gültigkeit oder Ungültigkeit des Arguments bestehen. Um diese peripheren Schwierigkeiten zu vermeiden, ist es zweckmäßig, eine künstliche Symbolsprache ohne Defekte einzurichten, in der Aussagen und Argumente formuliert werden können.

Die Verwendung einer speziellen logischen Notation ist der modernen Logik nicht eigen. Aristoteles verwendete auch Variablen, um seine eigene Arbeit zu erleichtern. Obwohl diesbezüglich der Unterschied zwischen moderner und klassischer Logik nicht einzigartig ist, sondern graduell, ist der Gradunterschied enorm.

In dem Maße, in dem moderne Logik eine eigene spezielle technische Sprache entwickelt hat, ist sie zu einem mächtigeren Werkzeug für Analyse und Deduktion geworden. Die speziellen Symbole der modernen Logik helfen uns, die logischen Strukturen von Sätzen und Argumenten, deren Formen durch die Schwerfälligkeit der gewöhnlichen Sprache verdeckt werden können, deutlicher darzustellen.

Ein weiterer Wert der Spezialsymbole des Logikers ist die Hilfe, die sie bei der tatsächlichen Verwendung und Manipulation von Anweisungen und Argumenten geben. Die Situation hier ist vergleichbar mit der Situation, die zur Ersetzung römischer Ziffern durch die arabische Notation geführt hat. Wir alle wissen, dass arabische Ziffern klarer und leichter zu verstehen sind als die älteren römischen Ziffern, die sie verdrängt haben.

Die wahre Überlegenheit arabischer Ziffern zeigt sich jedoch nur in der Berechnung. Jeder Schüler kann 113 mit 9 leicht multiplizieren. Aber CXIII mit IX zu multiplizieren, ist eine schwierigere Aufgabe, und die Schwierigkeit nimmt zu, je größer die Anzahl ist. In ähnlicher Weise wird das Ziehen von Schlussfolgerungen und die Beurteilung von Argumenten durch die Annahme einer besonderen logischen Notation erheblich erleichtert.

Moderne Logiker glauben, dass wir mit Hilfe des Symbolismus fast mechanisch mit dem Auge Übergänge machen können, die sonst die höheren Fähigkeiten des Gehirns in Anspruch nehmen würden.

Aus diesem Blickwinkel geht es in der Logik paradoxerweise nicht um die Entwicklung unserer Denkkräfte, sondern um die Entwicklung von Techniken, die es uns ermöglichen, einige Aufgaben zu erledigen, ohne viel darüber nachdenken zu müssen.

Die Symbole für Konjunktion, Negation und Disjunktion:

Wir unterteilen alle Aussagen in zwei allgemeine Kategorien, einfach und zusammengesetzt. Eine einfache Anweisung enthält keine andere Anweisung als Komponente. Zum Beispiel ist "Sudhirs ehrlich" eine einfache Aussage. Eine zusammengesetzte Anweisung enthält eine andere Anweisung als Komponente. Beispielsweise ist „Sudhirs Ehrlichkeit und Sudhirs Intelligent“ eine zusammengesetzte Aussage, denn sie enthält zwei einfache Aussagen als Komponenten.

Die Vorstellung einer Komponente einer Aussage ist ziemlich einfach, obwohl es nicht genau dasselbe ist wie „ein Teil, das selbst eine Aussage ist“. Zum Beispiel die letzten vier Wörter der Aussage „Der Mann, der Lincoln erschossen hat, war ein Schauspieler“. könnte in der Tat als eine Erklärung für sich betrachtet werden. Diese Aussage ist jedoch nicht Bestandteil der umfassenderen Aussage, zu der diese vier Wörter gehören.

Damit ein Teil einer Anweisung Bestandteil dieser Anweisung sein kann, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Erstens muss der Teil eine eigenständige Anweisung sein, und zweitens, wenn der Teil in der größeren Anweisung durch eine andere Anweisung ersetzt wird. Das Ergebnis dieses Austauschs wird aussagekräftig sein. Obwohl die erste Bedingung in dem gegebenen Beispiel erfüllt ist, ist die zweite nicht erfüllt. Wenn der Teil „Lincoln war ein Schauspieler“ durch „Es gibt Löwen in Afrika“ ersetzt wird, ist das Ergebnis der unsinnige Ausdruck „Der Mann, der dort geschossen hat, gibt Löwen in Afrika.“

Konjunktion :

Konjunktion ist eine Art zusammengesetzte Anweisung. Wir können die Verbindung von zwei Aussagen bilden, indem Sie das Wort „und“ zwischen ihnen platzieren. Die beiden so kombinierten Aussagen werden "Konjunkte" genannt. Daher ist die zusammengesetzte Aussage "Sudhirs ehrlich und Sudhirs intelligent" eine Konjunktion, deren erste Konjunktion "Sudhirs ehrlich" ist und deren zweite "Sudhirs intelligent" ist.

Das Wort „und“ ist ein kurzes und praktisches Wort, es hat jedoch andere Zwecke als das Verbinden von Anweisungen. Beispielsweise ist die Aussage „Nehru und Netaji waren Zeitgenossen“ keine Konjunktion, sondern eine einfache Aussage, die eine Beziehung ausdrückt. Um ein eindeutiges Symbol zu haben, dessen einzige Funktion darin besteht, Aussagen konjunktiv zu verknüpfen, führen wir den Punkt „•“ als unser Symbol für die Verbindung ein. Daher kann die vorherige Konjunktion als „Sudhirs ehrlicher Sudhirs Intelligenter“ beschrieben werden. Wenn p und q zwei beliebige Aussagen sind, wird ihre Konjunktion allgemein p • q geschrieben.

Wir wissen, dass jede Aussage entweder richtig oder falsch ist. Wir sagen also, jede Aussage hat einen Wahrheitswert, bei dem der Wahrheitswert einer wahren Aussage wahr ist und der Wahrheitswert einer falschen Aussage falsch ist. Mit diesem Begriff des „Wahrheitswertes“ können zusammengesetzte Aussagen in zwei verschiedene Kategorien unterteilt werden, je nachdem, ob der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage vollständig durch die Wahrheitswerte ihrer Komponenten oder durch etwas anderes als die Wahrheitswerte bestimmt wird seiner Komponenten.

Wir wenden diese Unterscheidung auf Konjunktionen an. Der Wahrheitswert der Konjunktion von zwei Aussagen wird vollständig und vollständig von den Wahrheitswerten ihrer beiden Konjunktionen bestimmt. Wenn beide Konjunkte wahr sind, ist die Konjunktion wahr; sonst ist es falsch. Aus diesem Grund wird eine Konjunktion als wahrheitsfunktionelle zusammengesetzte Aussage bezeichnet, und ihre Konjunktionen werden als wahrheitsfunktionelle Bestandteile davon bezeichnet.

Nicht jede zusammengesetzte Aussage ist jedoch wahrheitsfunktional. Für unsere gegenwärtigen Zwecke definieren wir eine Komponente einer zusammengesetzten Aussage als eine wahrheitsfunktionelle Komponente davon, vorausgesetzt, wenn die Komponente in der Verbindung durch unterschiedliche Aussagen mit dem gleichen Wahrheitswert ersetzt wird, werden die verschiedenen zusammengesetzten Aussagen erzeugt durch diese Ersetzungen haben auch die gleichen Wahrheitswerte wie einander. Und jetzt definieren wir eine zusammengesetzte Aussage als eine wahrheitsfunktionale zusammengesetzte Anweisung, wenn alle ihre Komponenten wahrheitsfunktionale Bestandteile davon sind.

Eine Konjunktion ist eine wahrheitsfunktional zusammengesetzte Aussage, daher ist unser Punktsymbol ein wahrheitsfunktionaler Zusammenhang. In Anbetracht zweier Aussagen kann /; und q, es gibt nur vier mögliche Sätze von Wahrheitswerten, die sie haben können. Diese vier möglichen Fälle und der Wahrheitswert der Konjunktion in jedem Fall können wie folgt angezeigt werden:

Wo p wahr ist und q wahr ist, ist p • q wahr.

Wenn p wahr ist und q falsch ist, ist p • q falsch.

Wo p falsch ist und q wahr ist, ist p • q falsch.

Wo p falsch ist und q falsch ist, ist p • q falsch.

Wenn wir die Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ durch die Großbuchstaben T und F repräsentieren, kann die Bestimmung des Wahrheitswerts einer Konjunktion durch die Wahrheitswerte ihrer Konjunktionen kurzer und klarer durch eine Wahrheit dargestellt werden Tisch als

Es ist zweckmäßig, einfache Aussagen durch Großbuchstaben abzukürzen. Zu diesem Zweck wird in der Regel ein Buchstabe verwendet, der uns hilft, sich an die Aussage zu erinnern, die er abkürzt. Daher sollten wir „Sudhirs ehrliche und Sudhirs intelligente“ als H. I abkürzen.

Einige Konjunktionen, deren Konjunktionen den gleichen Fachbegriff haben - zum Beispiel "Byron war ein großer Dichter und Byron war ein großer Abenteurer" - werden im Englischen kurz und vielleicht natürlicher ausgedrückt, indem Sie das "und" zwischen den Prädikaten und setzen den Betreff nicht wiederholen, wie in „Byron war ein großer Dichter und ein großer Abenteurer“. Für unsere Zwecke betrachten wir letzteren als formulierend.

Dieselbe Aussage wie die erste und symbolisieren beide gleichgültig wie P • A. Wenn beide Konjunkte einer Konjunktion den gleichen Prädikatsausdruck haben, wie in "Lewis war ein berühmter Forscher und Clark war ein berühmter Forscher", wäre die Konjunktion normalerweise wieder der Fall auf Englisch angegeben, indem das „und“ zwischen die Subjektbezeichnungen gesetzt wird und das Prädikat nicht wiederholt wird, wie in „Lewis und Clark waren berühmte Entdecker“. Beide Formulierungen werden als L • C symbolisiert.

Wie aus der Wahrheitstabelle hervorgeht, die das Punktsymbol definiert, ist eine Konjunktion genau dann wahr, wenn beide ihrer Konjunktionen wahr sind. Aber das Wort "und" hat eine andere Verwendung, in der es nicht bloße (wahrheitsfunktionelle) Verbindung bedeutet, sondern den Sinn von "und anschließend", dh zeitlicher Abfolge.

Daher ist die Aussage "Jones ist in New York in das Land eingedrungen und ist direkt nach Chicago gegangen" bedeutsam und könnte wahr sein, wohingegen "Jones direkt nach Chicago ging und in New York das Land betrat" kaum verständlich ist.

Und es gibt einen großen Unterschied zwischen "Er zog seine Schuhe aus und legte sich ins Bett" und "Er ging ins Bett und zog seine Schuhe aus." Die Berücksichtigung solcher Beispiele unterstreicht, dass es wünschenswert ist, ein besonderes Symbol mit einem ausschließlich wahrheitsfunktionalen Konjunktiv zu haben benutzen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die englischen Wörter "aber", "noch", "auch", "noch", "obwohl", "aber" "außerdem", "aber" und so weiter und sogar das Komma und das Semikolon, kann auch verwendet werden, um zwei Aussagen zu einer einzigen zusammengesetzten Anweisung zusammenzufassen, und in ihrem konjunktiven Sinn können sie alle durch das Punktsymbol dargestellt werden.

Negation:

Die Negation (oder Widerspruch oder Ablehnung) einer Aussage in Englisch wird oft durch das Einfügen eines "Nicht" in die ursprüngliche Aussage gebildet. Alternativ kann man die Negation einer Aussage auf Englisch ausdrücken, indem man der Phrase "es ist falsch das" oder "es ist nicht der Fall das" voranstellen. Es ist üblich, das Symbol zu verwenden (als "curl" oder weniger bezeichnet) häufig eine "Tilde"), um die Negation einer Aussage zu bilden. Wenn also M die Aussage „Alle Menschen sind sterblich“ symbolisieren, so stehen die verschiedenen Aussagen

"Nicht alle Menschen sind sterblich", "Einige Menschen sind nicht sterblich", "Es ist falsch, dass alle Menschen sterblich sind" und "Es ist nicht der Fall, dass alle Menschen sterblich sind" werden alle gleichgültig als ~ M symbolisiert. Allgemein gilt: Wo p eine Aussage ist, wird ihre Negation ~ p geschrieben. Es ist offensichtlich, dass die Locke ein wahrheitsfunktionaler Operator ist. Die Negation einer wahren Aussage ist falsch und die Negation einer falschen Aussage ist wahr. Diese Tatsache kann sehr einfach und klar anhand einer Wahrheitstabelle dargestellt werden:

Diese Wahrheitstabelle kann als Definition des Negationssymbols betrachtet werden.

Disjunktion:

Die Disjunktion (oder Abwechslung) von zwei Aussagen wird auf Englisch gebildet, indem das Wort „oder“ dazwischen eingefügt wird. Die beiden kombinierten Komponentenanweisungen werden als "Disjunkte" (oder "Alternativen") bezeichnet. Das englische Wort "oder" ist mehrdeutig und hat zwei verwandte, aber unterscheidbare Bedeutungen.

Eine davon ist beispielhaft in der Aussage "Prämien werden bei Krankheit oder Arbeitslosigkeit aufgehoben", denn es ist offensichtlich die Absicht, dass Prämien nicht nur für kranke Personen und für Arbeitslose, sondern auch für beide kranken Personen erlassen werden und arbeitslos.

Dieser Sinn des Wortes "oder" wird "schwach" oder "inklusiv" genannt. Eine inklusive Disjunktion ist wahr, wenn die eine oder die andere oder beide Disjunkte wahr sind. Nur wenn beide Disjunkte falsch sind, ist ihre inklusive Disjunktion falsch. Das inklusive "oder" hat das Gefühl von "entweder möglicherweise beide".

Das Wort "oder" wird auch in einem starken oder ausschließlichen Sinne verwendet, in dem die Bedeutung nicht "mindestens eine" ist, sondern "mindestens eine und höchstens eine". Wenn ein Restaurant "Salat oder Dessert" auf seiner Abendkarte aufführt Es ist eindeutig gemeint, dass das Abendessen für den angegebenen Preis der Mahlzeit das eine oder das andere, aber nicht beides haben kann.

Wir interpretieren die inklusive Disjunktion zweier Aussagen als eine Behauptung, dass mindestens eine der Aussagen wahr ist, und wir interpretieren ihre ausschließliche Disjunktion als eine Behauptung, dass mindestens eine der Aussagen wahr ist, nicht jedoch beide.

Beachten Sie, dass die beiden Arten der Disjunktion einen Teil ihrer Bedeutung gemeinsam haben. Diese teilweise gemeinsame Bedeutung, dass mindestens eine der Disjunkte wahr ist, ist die gesamte Bedeutung des inklusiven "oder" und ein Teil der Bedeutung des ausschließlichen "oder".

Wenn p und q zwei beliebige Aussagen sind, lautet ihre schwache oder inklusive Disjunktion ᵛwriter p ᵛ q. Unser Symbol für inklusive Disjunktion (als "Wedge" oder seltener als "Vee" bezeichnet) ist auch ein wahrheitsfunktionales Bindeglied. Eine schwache Disjunktion ist nur dann falsch, wenn beide ihrer Disjunkte falsch sind. Wir können den Keil als durch die folgende Wahrheitstabelle definiert betrachten:

Das erste in diesem Abschnitt vorgebrachte Argument war ein disjunktiver Syllogismus.

Der blinde Gefangene hat einen roten Hut oder der blinde Gefangene hat einen weißen Hut.

Der blinde Gefangene hat keinen roten Hut.

Deshalb hat der blinde Gefangene einen weißen Hut.

Ihre Form ist dadurch gekennzeichnet, dass die erste Prämisse eine Disjunktion ist. ihre zweite Prämisse ist die Negation der ersten Disjunkte der ersten Prämisse; und seine Schlussfolgerung ist die gleiche wie die zweite Disjunkte der ersten Prämisse. Es ist offensichtlich, dass der so definierte disjunktive Syllogismus entweder für die Interpretation des Wortes "oder" gilt, unabhängig davon, ob eine inklusive oder ausschließliche Disjunktion beabsichtigt ist.

Da das typische gültige Argument, das eine Disjunktion für eine Prämisse hat, wie der disjunktive Syllogismus für beide Interpretationen des Wortes "oder" gilt, kann eine Vereinfachung durch die Übersetzung des englischen Wortes "oder" in unser logisches Symbol "ᵛ" bewirkt werden. - unabhängig davon, welche Bedeutung das englische Wort "oder" hat.

Wenn beide Disjunkte entweder denselben Subjektbegriff oder denselben Prädikatsausdruck haben, ist es oft naheliegend, die Formulierung ihrer Disjunktion auf Englisch zu komprimieren, indem das "oder" so gesetzt wird, dass der gemeinsame Teil der beiden Disjunkte nicht wiederholt werden muss .

"Entweder ist Smith der Eigentümer oder Smith ist der Manager" könnte genauso gut als "Smith ist entweder der Eigentümer oder der Manager" bezeichnet werden, und einer ist richtig als O v M symbolisiert. Und "Entweder ist Rot schuldig oder Butch." schuldig “wird oft als„ entweder Rot oder Butch ist schuldig “bezeichnet, entweder als R ᵛ B symbolisiert.

Das Wort "es sei denn" wird oft verwendet, um zwei Aussagen zu trennen. Daher wird "Sie werden die Prüfung schlecht machen, wenn Sie nicht studieren" korrekt als P ᵛ S symbolisiert. Der Grund ist, dass wir "außer" verwenden, um zu bedeuten, dass, wenn der eine Satz nicht wahr ist, der andere wahr ist oder sein wird.

Aber manchmal wird das Wort "es sei denn" verwendet, um mehr Informationen zu vermitteln. Es kann bedeuten, dass der eine oder der andere Satz wahr ist, aber nicht beide. Das heißt, "es sei denn" kann als ausschließliche Disjunktion gedacht sein.

So schrieb Jeremy Bentham: "Was politisch gut ist, kann moralisch nicht schlecht sein, es sei denn, die Regeln für Arithmetik, die für eine große Zahl gut sind, sind schlecht für einen kleinen." Hier meinte der Autor, dass mindestens einer der beiden disjunkte ist wahr, aber er hat offenbar auch vorgeschlagen, dass beide nicht wahr sein können.

Interpunktion:

Im Englischen ist Interpunktion zwingend erforderlich, wenn komplizierte Aussagen klar sein sollen. Es werden sehr viele verschiedene Satzzeichen verwendet, ohne die viele Sätze sehr vieldeutig wären. In der Sprache der symbolischen Logik sind dieselben Interpunktionszeichen (Klammern, Klammern und geschweifte Klammern) ebenso wichtig, da in der Logik zusammengesetzte Aussagen oft selbst zu komplizierteren zusammengesetzt werden.

Daher ist p • q ᵛ r mehrdeutig. Es könnte die Konjunktion von p mit der Disjunktion von q mit r bedeuten, oder es könnte die Disjunktion bedeuten, deren erste Disjunkte die Konjunktion von p und q ist und deren zweite Disjunkte r ist. Wir unterscheiden zwischen diesen zwei verschiedenen Sinnen, indem wir die gegebene Formel als p • (q ᵛ r) oder auch als (p • q) ᵛ r durchsetzen.

Dass die verschiedenen Arten der Interpunktion der ursprünglichen Formel einen Unterschied ausmachen, kann man erkennen, wenn man den Fall betrachtet, in dem p falsch ist und q und r beide wahr sind. In diesem Fall ist die zweite punktierte Formel wahr (da ihr zweiter Disjunkt wahr ist), während der erste falsch ist (da sein erster Konjunkt falsch ist).

Hier macht der Unterschied in der Interpunktion den Unterschied zwischen Wahrheit und Unwahrheit, denn unterschiedliche Interpunktionen können dem mehrdeutigen p • q ᵛ r unterschiedliche Wahrheitswerte zuweisen. Die Negation einer Disjunktion wird häufig durch die Verwendung des Ausdrucks "weder - noch" gebildet. Daher kann der Aussage „Entweder Shakespeare oder Bernard Shaw war der größte Dramatiker“ widersprochen werden. "Weder Shakespeare noch Bernard Shaw waren der größte Dramatiker." Die Disjunktion würde als S v B symbolisiert und ihre Negation entweder als ~ (S ᵛ B) oder als (~ S) • (~ B).

Mit einem Satz von Satzzeichen für unsere Symbolsprache ist es möglich, nicht nur Konjunktionen, Negationen und schwache Disjunkte zu schreiben, sondern auch exklusive Disjunktion. Die ausschließliche Disjunktion von p und q besagt, dass mindestens einer von ihnen wahr ist, nicht aber beide, und dies wird ganz einfach als (p ᵛ q) '~ (p • q) geschrieben.

Jede zusammengesetzte Aussage, die aus einfachen Aussagen aufgebaut ist, die nur die wahrheitsfunktionalen Verbindungselemente - Punkt, Krümmung und Keil - verwenden, hat ihren Wahrheitswert vollständig durch die Wahrheit oder Unwahrheit ihrer einfachen Aussagen bestimmt.

Wenn wir die Wahrheitswerte einfacher Aussagen kennen, lässt sich der Wahrheitswert jeder wahrheitsfunktionellen Verbindung leicht berechnen. Wenn beispielsweise A und B wahr sind und X und Y falsche Aussagen sind, berechnen wir den Wahrheitswert der zusammengesetzten Anweisung ~ [~ (A • X) • (Y ~ B) wie folgt. Da X falsch ist, ist die Konjunktion A • X falsch und die Negation ~ (A • X) ist also wahr. B ist wahr; daher ist ihre Negation ~ B falsch, und da Y auch falsch ist, ist die Trennung von Y mit ~ B, Y ᵛ ~ B falsch.

Die eingeklammerte Formel [~ (A • X) • (Y ~ B)] ist die Konjunktion eines Wahrs mit einer falschen Aussage und ist daher falsch. Daher ist ihre Negation, die die gesamte Aussage ist, wahr. Eine solche schrittweise Vorgehensweise ermöglicht es uns immer, den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage aus den Wahrheitswerten ihrer Komponenten zu bestimmen.

Bedingungsanweisungen und materielle Implikationen:

Wenn zwei Anweisungen kombiniert werden, indem das Wort 'if' vor dem ersten platziert wird und das Wort 'dann' dazwischen eingefügt wird, ist die resultierende zusammengesetzte Anweisung eine Bedingung (wird auch als 'hypothetisch', als 'Implikation' oder als 'implizative Anweisung' bezeichnet. .) In einer Bedingung wird die Komponentenanweisung, die auf das "Wenn" folgt, als "Vorläufer" bezeichnet, und die Komponentenanweisung, die auf "Dann" folgt, ist die "Konsequenz".

Zum Beispiel: "Wenn Mr. Jones der Nachbar des Bremsers ist, verdient Mr. Jones genau dreimal so viel wie der Bremser", ist eine bedingte Aussage, in der "Mr. Jones ist der Nachbar des Bremsers" der Vorläufer ist und 'Mr. Jones verdient genau dreimal so viel wie der Bremser die Folge ist.

Wir führen nun ein spezielles Symbol ein, um diese allgemeine Teilbedeutung der "Wenn - Dann" - Phrase darzustellen. Wir definieren das neue Symbol „z ﬤ“ (als „Hufeisen“ bezeichnet), indem wir p ﬤ q als Abkürzung für ~ (p • q) verwenden. Die genaue Bedeutung des Symbols „3“ kann anhand einer Wahrheitstabelle angegeben werden:

Hier sind die ersten beiden Spalten die Leitspalten. Sie legen einfach alle möglichen Kombinationen von Wahrheit und Falschheit für p und q dar. Die dritte Spalte wird mit Bezug auf die zweite, die vierte mit Bezug auf die erste und dritte, die fünfte mit Bezug auf die vierte Spalte gefüllt und die sechste ist per Definition identisch mit der fünften.

Das Symbol „ﬤ“ ist nicht als Bedeutung für „wenn - dann“ oder als Implikationsverhältnis zu verstehen. Das wäre unmöglich, denn es gibt keine einzige Bedeutung von "wenn - dann"; Es gibt verschiedene Bedeutungen. Das Symbol „z“ ist jedoch völlig eindeutig. Was pdq als Abkürzung bezeichnet, ist ~ (p • ~ q), dessen Bedeutung in den Bedeutungen der verschiedenen verschiedenen Arten von Implikationen enthalten ist, die jedoch nicht die gesamte Bedeutung von ihnen ausmachen.

Wir können das Symbol "ﬤ" als eine andere Art von Implikation ansehen, und es ist zweckmäßig, dies zu tun, da p ﬤ q bequem zu lesen ist "wenn p dann q". Aber es ist nicht die gleiche Art von Implikation wie zuvor erwähnt. Es wird von den Logikern als "materielle Implikation" bezeichnet. Wenn sie ihm einen speziellen Namen geben, geben sie zu, dass es sich um eine spezielle Vorstellung handelt, die nicht mit anderen, üblicheren Implikationsarten zu verwechseln ist.

Keine "reale Verbindung" zwischen Vorläufer und Konsequenz wird durch eine materielle Implikation nahegelegt. Es wird lediglich behauptet, dass der Vorgänger nicht der Fall ist, wenn die Konsequenz falsch ist. Es ist zu beachten, dass das materielle Implikationssymbol ein wahrheitsfunktionales Bindeglied ist, wie die Symbole für Konjunktion und Disjunktion. Als solches wird es durch die Wahrheitstabelle definiert.

So wie es in der Wahrheitstabelle definiert ist, weist das Hufeisensymbol „ﬤ“ einige Merkmale auf, die auf den ersten Blick ungewöhnlich erscheinen können. Die Behauptung, dass ein falscher Vorgänger materiell eine wahre Konsequenz impliziert, ist wahr; und die Behauptung, dass ein falscher Vorgänger materiell eine falsche Konsequenz impliziert, ist auch richtig.

Wahrheitsfunktionen und ihre Erklärungsformen mit definierbarer Definition, materielle Äquivalenz und logische Äquivalenz:

Es gibt eine genaue Parallele zwischen dem Verhältnis von Argument zu Argumentform einerseits und dem Verhältnis von Aussage zu Aussageform andererseits. Die Definition von "Anweisungsformular" macht dies deutlich: Ein Anweisungsformular ist eine beliebige Folge von Symbolen, die Anweisungsvariablen, jedoch keine Anweisungen enthält. Wenn also die Anweisungsvariablen durch Anweisungen ersetzt werden, wird die gleiche Anweisung durchgängig durch dieselbe Anweisungsvariable ersetzt Ergebnis ist eine Aussage.

Also ist p ᵛq eine Anweisungsform, denn wenn Anweisungen für die Variablen p und q eingesetzt werden, führt dies zu einer Aussage. Da die resultierende Anweisung eine Disjunktion ist, wird pvq als "disjunktive Anweisungsform" bezeichnet. Analog werden p • q und p ﬤ q als "konjunktive" und "bedingte Anweisungsform" bezeichnet, und ~ p wird als "Negationsform" oder "Negationsform" bezeichnet. Verweigerungsform. "

So wie ein Argument einer bestimmten Form als Substitutionsinstanz dieser Argumentform bezeichnet wird, so wird jede Aussage einer bestimmten Form als Substitutionsinstanz dieser Anweisungsform bezeichnet. Und so wie wir die spezifische Form eines bestimmten Arguments unterschieden, unterscheiden wir die spezifische Form einer bestimmten Anweisung als jene Anweisung, aus der die Anweisung resultiert, indem sie für jede andere Anweisungsvariable eine andere einfache Anweisung einsetzt. Somit ist pvq die spezifische Form der Aussage "Der blinde Gefangene hat einen roten Hut oder der blinde Gefangene hat einen weißen Hut."

Tautologe, widersprüchliche und bedingte Anweisungsformen:

Es ist völlig natürlich zu glauben, dass, obwohl die Aussagen "Lincoln wurden ermordet" (symbolisiert als L) und "Entweder wurde Lincoln ermordet oder er war es nicht" (symbolisiert als L v ~ L) beide wahr, sie sind wahr " auf unterschiedliche Weise “oder haben„ verschiedene Arten von Wahrheit “. Ebenso ist es ganz natürlich zu glauben, dass, obwohl die Aussagen „Washington wurden ermordet“ (symbolisiert als W) und „Washington wurden sowohl ermordet als auch nicht ermordet“ (symbolisiert als W • ~ W) beide falsch, sie sind jedoch falsch verschiedene Möglichkeiten “oder„ unterschiedliche Arten von Falschheit “haben. Obwohl wir nicht vorgeben, irgendeine psychologische Erklärung für diese „Gefühle“ zu geben, können wir dennoch gewisse logische Unterschiede aufzeigen, zu denen sie wahrscheinlich passen.

Die Aussage L ist wahr und die Aussage W ist falsch; das sind historische Fakten. Sie haben keine logische Notwendigkeit. Die Ereignisse könnten anders aufgetreten sein, und die Wahrheitswerte solcher Aussagen wie L und W müssen durch eine empirische Untersuchung der Geschichte entdeckt werden.

Aber die Aussage L v ~ L ist, obwohl sie wahr ist, keine geschichtliche Wahrheit. Hier besteht logische Notwendigkeit: Ereignisse konnten nicht falsch gemacht werden, und ihre Wahrheit kann unabhängig von einer bestimmten empirischen Untersuchung erkannt werden. Die Aussage L v ~ L ist eine logische Wahrheit, eine formale Wahrheit, die allein aufgrund ihrer Form wahr ist. Es ist eine Ersetzungsinstanz einer Anweisung, von der alle Ersetzungsinstanzen wahre Anweisungen sind.

Eine Aussage mit nur echten Substitutionsinstanzen wird als "tautologe Aussagenform" oder "Tautologie" bezeichnet. Um zu zeigen, dass die Aussage von pv ~ p Tautologie ist; Wir konstruieren die folgende Wahrheitstabelle:

Zu dieser Wahrheitstabelle gibt es nur eine Anfangs- oder Leitspalte, da das betrachtete Formular nur eine Anweisungsvariable enthält. Folglich gibt es nur zwei Zeilen, die alle möglichen Substitutionsinstanzen darstellen.

Es gibt nur T in der Spalte unter dem fraglichen Anweisungsformular, und diese Tatsache zeigt, dass alle seine Substitutionsinstanzen wahr sind. Jede Aussage, die eine Substitutionsinstanz einer tautologischen Anweisungsform ist, ist aufgrund ihrer Form wahr und wird selbst als tautolog oder Tautologie bezeichnet.

Eine Aussage mit nur falschen Substitutionsinstanzen wird als "widersprüchlich" oder als "Widerspruch" bezeichnet und ist logisch falsch. Die Aussage von p • ~ p ist widersprüchlich, denn in ihrer Wahrheitstabelle kommen nur F's unter, was bedeutet, dass alle Substitutionsinstanzen falsch sind. Jede Aussage wie W • ~ W, die eine Substitutionsinstanz einer sich selbst widersprechenden Aussagenform ist, ist aufgrund ihrer Form falsch und wird selbst als widersprüchlich oder als Widerspruch bezeichnet.

Anweisungsformulare, die sowohl echte als auch falsche Anweisungen in ihren Substitutionsinstanzen enthalten, werden als "kontingente Anweisungsformulare" bezeichnet. Jede Anweisung, deren spezifische Form kontingent ist, wird als "kontingente Anweisung" bezeichnet. Daher sind p, ~ p, p • q, pvq und p ﬤ q sind alle Formulare für bedingte Anweisungen. Und Aussagen wie L, ~ L, L • W, L ﬤ W und L ﬤ W sind zufällige Aussagen, da ihre Wahrheitswerte von ihrem Inhalt und nicht nur von ihrer Form abhängen oder abhängig sind.

Nicht alle Aussagenformen sind so offensichtlich tautologisch oder widersprüchlich oder kontingent wie die einfachen Beispiele. Zum Beispiel ist die Aussageform [(p ﬤ q) ﬤ p] ﬤ 3 p überhaupt nicht offensichtlich, obwohl ihre Wahrheitstabelle eine Tautologie zeigen wird. Es hat sogar einen speziellen Namen, "Peirces Gesetz".

Materielle Gleichwertigkeit:

Zwei Aussagen werden als "materiell gleichwertig" oder "gleichwertig im Wahrheitswert" bezeichnet, wenn sie entweder richtig oder falsch sind. Dieser Begriff wird durch das Symbol "≡" ausgedrückt. Die materielle Äquivalenz ist eine Wahrheitsfunktion und kann durch die folgende Wahrheitstabelle definiert werden:

Wenn zwei Aussagen im Wesentlichen gleichwertig sind, implizieren sie sich inhaltlich. Dies wird leicht durch eine Wahrheitstabelle verifiziert. Daher kann das Symbol "=" gelesen werden "wenn und nur dann". Eine Anweisung der Form p = q wird als "Zweikondition" bezeichnet, und die Form wird auch als "Zweikondition" bezeichnet.

Logische Äquivalenz:

Zwei Aussagen sind logisch äquivalent, wenn ihre materielle Äquivalenz eine Tautologie ist. Das "Prinzip der doppelten Verneinung", das als das bedingte p ≡ ~~ p ausgedrückt wird, wird durch die folgende Wahrheitstabelle als tautologe erwiesen:

was die logische Äquivalenz von p ≡ ~ ~ p beweist.

Der Unterschied zwischen logischer Äquivalenz und materieller Äquivalenz ist sehr wichtig. Zwei Aussagen sind nur dann logisch gleichwertig, wenn es absolut unmöglich ist, dass die beiden Aussagen unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

Daher haben logisch äquivalente Aussagen dieselbe Bedeutung und können in jedem wahrheitsfunktionalen Kontext gegeneinander ausgetauscht werden, ohne den Wahrheitswert dieses Kontextes zu ändern. Zwei Aussagen sind jedoch materiell gleichwertig (auch wenn sie keine sachlichen Beziehungen zueinander haben), wenn sie lediglich den gleichen Wahrheitswert haben. Aussagen, die lediglich materiell gleichwertig sind, dürfen sich daher sicherlich nicht gegenseitig ersetzen.

De Morgans Theoreme:

Es gibt zwei logische Äquivalenzen (dh logisch wahre Bi- Conditionale) von intrinsischem Interesse und Wichtigkeit, die die Wechselbeziehungen zwischen Konjunktion, Disjunktion und Negation ausdrücken. Da die Disjunktion pvq lediglich behauptet, dass mindestens eine ihrer beiden Verbindungen wahr ist, wird nicht widersprochen, dass mindestens eine falsch ist, sondern nur, dass beide falsch sind. Somit ist das Bestätigen der Negation der Disjunktion pvq logisch gleichbedeutend mit dem Bestätigen der Konjunktion der Negationen von p und von q. In Symbolen haben wir die Zweikonditionale ~ (pvq) ~ (~ p • ~ q), deren logische Wahrheit durch die folgende Wahrheitstabelle festgelegt wird:

Um die Behauptung von p und q zu behaupten, dass beide wahr sind, müssen wir, um dieser Behauptung zu widersprechen, lediglich behaupten, dass mindestens einer falsch ist. Somit ist das Bestätigen der Negation der Konjunktion p • q logisch gleichbedeutend mit dem Bestätigen der Disjunktion der Negationen von p und von q. In Symbolen haben wir das B-Konditional ~ (p · q) ≡ (~ p ᵛ ~ q), das sich leicht als Tautologie erwiesen hat.

Diese beiden tautologischen Biditional Bedingungen sind als De Morgans Theoreme bekannt, nachdem sie vom Mathematiker und Logiker Augustus De Morgan (1806-1871) festgestellt wurden. De Morgans Theoreme können auf Englisch als kombinierte Formulierung gegeben werden

Die Negation der {Disjunction / Konjunktion} von zwei Anweisungen ist logisch gleichbedeutend mit der {Conjunction / Disjunction} -Negation der beiden Anweisungen.

Wahrheitstabellen:

Um eine Argumentform zu testen, prüfen wir alle möglichen Substitutionsinstanzen, um festzustellen, ob eine von ihnen wahre Voraussetzungen und eine falsche Schlussfolgerung hat. Natürlich hat jede Argumentform unendlich viele Substitutionsinstanzen, aber wir müssen uns keine Sorgen machen, dass wir sie einzeln untersuchen müssen. Da wir nur an der Wahrheit oder Falschheit ihrer Prämissen und Schlussfolgerungen interessiert sind, müssen wir nur die betreffenden Wahrheitswerte berücksichtigen.

Die Argumente, die uns hier betreffen, enthalten nur einfache Aussagen und zusammengesetzte Aussagen, die aus einfachen Aussagen mit Hilfe der wahrheitsfunktionalen Verbindungen aufgebaut werden, die durch Punkte, Locken, Keile und Hufeisen symbolisiert werden.

Daher erhalten wir alle möglichen Substitutionsinstanzen, deren Prämissen und Schlussfolgerungen unterschiedliche Wahrheitswerte haben, indem wir alle möglichen unterschiedlichen Anordnungen von Wahrheitswerten für die Aussagen prüfen, die durch die verschiedenen Anweisungsvariablen in der zu testenden Argumentform ersetzt werden können.

Wenn eine Argumentform nur zwei verschiedene Anweisungsvariablen, p und q, enthält, sind alle ihre Substitutionsinstanzen das Ergebnis des Ersetzens entweder wahrer Anweisungen für p und q oder einer wahrer Anweisung für p und einer falschen für q oder eines falschen Werts eine für p und eine wahre für q oder falsche Anweisungen für p und q. Diese verschiedenen Fälle werden am besten in Form einer Wahrheitstabelle zusammengestellt. Um die Gültigkeit des Argumentformulars zu bestimmen

Jede Zeile dieser Tabelle repräsentiert eine ganze Klasse von Substitutionsinstanzen. Die T- und F-Werte in den beiden Anfangs- oder Führungsspalten stellen die Wahrheitswerte der Anweisungen dar, die für die Variablen p und q in der Argumentform verwendet werden. Wir füllen die dritte Spalte aus, indem wir auf die Anfangs- oder Leitspalten und die Definition des Hufeisensymbols zurückgreifen.

Die dritte Spaltenüberschrift ist die erste "Prämisse" des Argumentformats, die zweite Spalte ist die zweite "Prämisse" und die erste Spalte ist die "Schlussfolgerung". Bei der Untersuchung dieser Wahrheitstabelle finden wir, dass es in der dritten Zeile gibt T ist sowohl unter Prämissen als auch ein F unter der Schlussfolgerung, was darauf hinweist, dass es mindestens eine Substitutionsinstanz dieser Argumentform gibt, die wahre Prämissen und eine falsche Schlussfolgerung hat.

Diese Zeile reicht aus, um zu zeigen, dass das Argumentformular ungültig ist. Jedes Argument dieser spezifischen Form (d. H. Jedes Argument, dessen spezifische Argumentform die angegebene Argumentform ist) bezeichne den Trugschluss, die Konsequenz zu bestätigen, da seine zweite Prämisse die Konsequenz ihrer bedingten ersten Prämisse bestätigt.

Einige allgemein gültige Argumente:

Disjunktiver Syllogismus:

Es ist eine der einfachsten gültigen Argumenten, die sich auf die Tatsache stützt, dass in jeder echten Disjunktion mindestens eine der Disjunkte wahr sein muss. Wenn also einer von ihnen falsch ist, muss der andere wahr sein. Wir symbolisieren den disjunktiven Syllogismus wie folgt:

Auch hier weisen die Anfangs- oder Leitspalten alle möglichen unterschiedlichen Wahrheitswerte von Anweisungen auf, die die Variablen p und q ersetzen können. Wir füllen die dritte Spalte aus, indem wir uns auf die ersten zwei und die vierte auf die erste Spalte beziehen.

Nun ist die dritte Zeile die einzige, in der T's unter beiden Prämissen (dritte und vierte Spalte) erscheint, und dort erscheint auch ein T unter der Schlussfolgerung (zweite Spalte). Die Wahrheitstabelle zeigt somit, dass die Argumentform keine Substitutionsinstanz mit wahren Voraussetzungen und einer falschen Schlussfolgerung hat, und beweist damit, dass die Gültigkeit des Arguments geprüft wurde.

Modus Ponens:

Die einfachste Art eines intuitiv gültigen Arguments, das eine Bedingungsanweisung enthält, wird durch das Argument veranschaulicht:

Wenn es die Sonne gibt, gibt es Licht.

Da ist die Sonne.

Da ist Licht.

Die spezifische Form dieses Arguments, bekannt als modus ponens, ist

Hier werden die beiden Prämissen durch die dritte und die erste Spalte dargestellt, und die Schlussfolgerung wird durch die zweite dargestellt. Nur die erste Zeile stellt Substitutionsinstanzen dar, in denen beide Prämissen wahr sind, und das T in der zweiten Spalte zeigt, dass in diesen Argumenten die Schlussfolgerung auch wahr ist. Diese Wahrheitstabelle legt die Gültigkeit jedes Arguments von form modus ponens fest.

Modus Tollens:

Wir haben gesehen, dass, wenn eine bedingte Aussage wahr ist, der Vorgänger falsch sein muss, wenn die Folge falsch ist. Diese Form der Argumentation wird sehr häufig verwendet, um die Falschheit eines zweifelhaften Satzes festzustellen. Am Unfallort kann die Polizei Folgendes begründen:

Wenn es die Sonne gibt, gibt es Licht.

Es gibt kein Licht.

Dort ist keine Sonne.

Das Argument würde wie folgt symbolisiert:

Die Gültigkeit dieses Argumentformats, als Modus Tollens bezeichnet, kann durch die folgende Wahrheitstabelle gezeigt werden

Auch hier gibt es keine Substitutionsinstanz, keine Zeile, in der die Prämissen p ﬤ q und ~ q beide wahr sind und die Schlussfolgerung ~ p falsch ist.

Hypothetischer Syllogismus:

Ein anderer allgemeiner Typ von intuitiv gültigen Argumenten enthält nur bedingte Anweisungen. Hier ist ein Beispiel:

Wenn ein Mann aufrichtig arbeitet, ist er erfolgreich.

Wenn der Mensch erfolgreich ist, wird er glücklich.

Wenn ein Mann aufrichtig arbeitet, wird er glücklich.

Die spezifische Form dieses Arguments lautet

Da dieses Argument, das als "hypothetischer Syllogismus" bezeichnet wird, drei verschiedene Anweisungsvariablen enthält, muss die Wahrheitstabelle hier drei Anfangs- oder Leitspalten haben und erfordert acht Zeilen für die Auflistung der möglichen Substitutionsinstanzen. Neben den ersten Spalten sind drei zusätzliche Spalten erforderlich: zwei für die Prämissen, die dritte für den Abschluss. Die Tabelle erscheint als

Bei der Erstellung füllen wir die vierte Spalte aus, indem wir uns auf die erste und zweite, die fünfte auf die zweite und dritte und die sechste auf die erste und dritte beziehen. Examining the completed table, we observe that the premisses are true only in the first, fifth, seventh, and eighth rows and that in all of these the conclusion is true also. This truth table establishes the validity of the argument form and proves that the Hypothetical Syllogism also remains valid when its conditional statements are translated by means of the horseshoe symbol.

Formal Proof of Validity:

In theory, truth tables are adequate to test the validity of any argument of the general type here considered. But in practice they grow unwieldy as the number of component statements increases. A more efficient method of establishing the validity of an extended argument is to deduce its conclusion from its premisses by a sequence of elementary arguments each of which is known to be valid. This technique accords fairly well with ordinary methods of argumentation.

Consider, for example, the following argument:

If Sapna was nominated, then she went to Delhi.

If she went to Delhi, then she campaigned there.

If she campaigned there, she met Harish.

Sapna did not meet Harish.

Either Sapna was nominated or someone more eligible was selected.

Therefore someone more eligible was selected.

Its validity may be intuitively obvious, but let us consider the matter of proof. The discussion will be facilitated by translating the argument into our symbolism as

To establish the validity of this argument by means of a truth table would require one with thirty-two rows, since there are five different simple statements involved. But we can prove the given argument valid by deducing its conclusion from its premisses by a sequence of just four elementary valid arguments.

From the first two premisses A ﬤ B and BﬤC we validly infer A ﬤ C by a hypothetical syllogism. From A ﬤC and the third premiss C ﬤ D we validly infer A ﬤ D by another hypothetical syllogism. From A ﬤD and the fourth premiss ~D we validly infer ~A by modus tollens. And from ~A and the fifth premiss A ᵛ E, by a disjunctive syllogism we validly infer E, the conclusion of the original argument.

That the conclusion can be deduced from the five premisses of the original argument by four elementary valid arguments proves the original argument to be valid. Here the elementary valid argument forms hypothetical syllogism (HS), modus tollens (MT), and disjunctive syllogism (DS) are used as rules of inference in accordance with which conclusions are validly inferred or deduced from premisses.

A more formal proof of validity is given by writing the premisses and the statements that we deduce from them in a single column; and setting off in another column, to the right of each such statement, its “justification, ” or the reason we can give for including it in the proof.

It is convenient to list all the premisses first and to write the conclusion slightly to one side, separated by a diagonal line from the premisses. The diagonal line automatically labels all statements above it as premisses. If all the statements in the column are numbered, the “justification” for each statement consists of the numbers of the preceding statements from which it is inferred, together with the abbreviation for the rule of inference by which it follows from them. The formal proof of the argument above is written as:

We define a formal proof that a given argument is valid to be a sequence of statements each of which is either a premiss of that argument or follows from preceding statements of the sequence by an elementary valid argument, such that the last statement in the sequence is the conclusion of the argument whose validity is being proved.

We define an elementary valid argument to be any argument that is a substitution instance of an elementary valid argument form. One matter to be emphasized is that any substitution instance of an elementary valid argument form is an elementary valid argument. Thus the argument

is an elementary valid argument because it is a substitution instance of the elementary valid argument form modus ponens (MP). It results from

by substituting A • B for p and C ≡ (D v E) for q and is therefore of that form even though modus ponens is not the specific form of the given argument.

Modus ponens is a very elementary valid argument form indeed, but what other valid argument forms are to be included as rules of inference? We begin with a list of just nine rules of inference to be used in constructing formal proofs of validity:

Rules of Inference:

1. Modus Ponens (MP)

pﬤq