Zwei-Phasen-Methoden der Problemlösung in der linearen Programmierung: Erste und zweite Phase
Bei dieser Methode wird das Problem in zwei Phasen gelöst, wie unten angegeben.
Erste Phase:
(a) Alle Bestimmungen zu RHS sollten nicht negativ sein. Wenn einige -ve sind, müssen sie + ve gemacht werden, wie zuvor erklärt wurde.
(b) Expresseinschränkungen in Standardform.
(c) Fügen Sie künstliche Variablen in Gleichheitsbeschränkungen oder (>) Typeinschränkungen hinzu.
(d) Bilden Sie eine neue Zielfunktion W, die aus der Summe aller künstlichen Variablen besteht
W = A 1 + A 2 + …………………… + A m
Die Funktion (W) ist als Infeasibility-Form bekannt.
(e) Die Funktion W ist unter den Einschränkungen des ursprünglichen Problems zu minimieren, und es wird die optimale grundsätzliche Lösung erhalten.
Jeder der folgenden drei Fälle kann auftreten:
(ich bin dabei. W> 0 und mindestens eine künstliche Variable erscheint in der Spalte „Basisvariablen“ auf der positiven Ebene. In diesem Fall gibt es keine realisierbare Lösung für das ursprüngliche LPP und der Vorgang wird gestoppt.
(ii) min. W = 0 und mindestens eine künstliche Variable erscheint in der Spalte „Basisvariablen“ auf Nullniveau. In einem solchen Fall kann die optimale durchführbare Lösung für das Infeasibility-Formular eine durchführbare Lösung für das gegebene (ursprüngliche) LPP sein oder nicht. Um eine durchführbare Lösung zu erhalten, setzen wir die Phase I fort und versuchen, alle künstlichen Variablen auszutreiben die Basis und fahren Sie dann mit Phase II fort.
(iii) min. W = 0 und keine künstliche Variable erscheint in der Spalte "Basisvariablen", aktuelle Lösung ". In einem solchen Fall wurde eine grundlegende Lösung für das ursprüngliche LPP gefunden. Fahren Sie mit Phase II fort.
Zweite Phase:
Verwenden Sie die optimale Basislösung für Phase I als Ausgangslösung für das ursprüngliche LPP. Verwenden Sie die Simplex-Methode, um Iterationen durchzuführen, bis eine optimale Basislösung für die Basislösung erhalten wird.
Es sei darauf hingewiesen, dass die neue Zielfunktion W immer vom Minimierungstyp ist, unabhängig davon, ob das gegebene (ursprüngliche) LPP vom Maximierungs- oder Minimierungstyp ist. Nehmen wir das folgende Beispiel.
Beispiel 1 (Zweiphasen-Simplex-Methode):
Verwenden Sie die zweiphasige Simplex-Methode für
Minimiere Z = -3X - 2Y - 2Z
Vorbehaltlich 5X + 7Y + 4Z <7
-4X + 7Y + 5Z> –2
3X + 4 V - 6Z> 29/7
X, Y, Z> 0
Lösung:
Erste Phase
Es besteht aus folgenden Schritten.
(a) In der zweiten Einschränkung, RHS ist -ve, wird dies durch Multiplikation mit Minuszeichen auf beiden Seiten + ve gemacht
4X - 7Y - 5Z <2
(b) Hinzufügen von Slack-Variablen in die Einschränkungen
5X + 7Y + 4Z + S 1 = 7
4X - 7Y - 5Z + S 2 = 2
3X + 4Y - 6Z - S3 = 29/7
wobei X, Y, Z, S 1, S 2, S 3 > 0 ist
(c) Sei X = Y = Z = 0, wir erhalten S 1 = 7, S 2 = 2, S 3 = -29/7. als erste Lösung. Aber die Serie S 3 ist -ve, wir fügen die künstliche Variable A hinzu, dh
3X + 4Y-6Z-S 3 + A 1 = 29/7
(d) Die Zielfunktion des Minimierungstyps wird als Maximierungstyp ausgeführt, d. h
Maximiere Z = 3X + 2Y + 2Z
(e) Wir führen eine neue Zielfunktion W = A 1 für die erste Phase ein, die minimiert werden soll.
(f) Durch Ersetzen von X = Y = Z = S 3 = 0 in den Nebenbedingungen erhalten wir S 1 = 7, S 2 = 2, / A 1 = 29/7 als anfängliche, durchführbare Lösung.
Vorgeformter Optimalitätstest
Da Cj-Ej unter denselben Spalten negativ ist (Minimierungsproblem), kann die derzeitige realisierbare Lösung verbessert werden.
Iterieren auf eine optimale Lösung:
Durchführen von Iterationen, um eine optimale Lösung zu erhalten.
Ersetzen Sie S 1 durch X 2 . Dies ist in der nachstehenden Tabelle dargestellt
In der Tabelle gibt es eine Gleichheit für die Schlüsselzeile. X Spalte ist die Schlüsselspalte und Y Spalte ist die erste Spalte der Identität. Nach der Methode des Bindungsbruches stellen wir fest, dass die y-Säule die Krawatte nicht bricht. Die nächste Spalte der Identität, dh S 2 -Spalte, liefert A 1 -Zeile als Schlüsselzeile. Somit ist (1/7) das Schlüsselelement in der Tabelle zu einer Einheit gemacht
Ersetzen Sie A 1 durch X wie in der nachstehenden Tabelle gezeigt
Tabelle 5 gibt eine optimale Lösung an. Da das Minimum W = 0 ist und in den Basisvariablen, dh in der aktuellen Lösung, keine künstliche Variable vorhanden ist, gibt Tabelle 5 eine grundlegende Lösung für die Phase-II
Zweite Phase:
Die ursprüngliche Zielfunktion ist
Maximiere Z = 3x + 2y + 2Z + OS, + 0S2 + 0S3
Es soll unter Verwendung der ursprünglichen Einschränkungen maximiert werden. Verwenden Sie die Lösung von Phase I als Startlösung für die Phase II und führen Sie die Berechnung mit dem Simplex-Algorithmus durch
Schlüsselelement wird in table7 zu einer Einheit gemacht
Ersetzen Sie S 2 durch X 3 .
