Normalwahrscheinlichkeitskurve: Berechnung, Eigenschaften und Anwendungen
In diesem Artikel erfahren Sie mehr über die Berechnung, Eigenschaften und Anwendungen der normalen Wahrscheinlichkeitskurve in Statistiken.
Berechnung der Normalwahrscheinlichkeitskurve:
Wenn eine Münze unverfälscht geworfen wird, fällt sie entweder in den Kopf (H) oder in den Schwanz (T). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kopf erscheint, eine Chance von zwei. Das Wahrscheinlichkeitsverhältnis von H ist also 1/2 und T ist 1/2.
Ebenso werden wir zwei Münzen werfen, Münze x und Münze y, es gibt vier Möglichkeiten des Fallens.
Somit sind die vier möglichen Wege - sowohl x als auch y können H fallen, x kann T und y fallen, x kann H und yT fallen oder beide können T fallen.
In Verhältnissen ausgedrückt
Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen = ¼
Wahrscheinlichkeit von zwei Schwänzen = ¼
Wahrscheinlichkeit von einem H und einem T = ¼
Wahrscheinlichkeit von einem T und einem H = ¼
Somit ist das Verhältnis 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1, 00
Das erwartete Erscheinungsbild von Köpfen und Schwänzen zweier Münzen kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
(H + T) 2 = H 2 + 2 HT + T 2
Wenn wir die Anzahl der Münzen auf drei erhöhen, dh x, y und Z, kann es acht mögliche Anordnungen geben.
Das erwartete Erscheinungsbild von Köpfen und Schwänzen von Münzen kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
Auf diese Weise können wir die Wahrscheinlichkeit verschiedener Kombinationen von Kopf und Zahl einer beliebigen Anzahl von Münzen bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit einer beliebigen Anzahl von Münzen kann durch binomiale Expansion erhalten werden. Ein Ausdruck, der zwei Ausdrücke enthält, wird als Binomialausdruck bezeichnet. Der Binomialsatz ist eine algebraische Formel, die die Stärke eines Binomialausdrucks in Form einer Reihe erweitert.
Die Formel lautet wie folgt:
(H + T) n = C (n, 0) H n + C (n, 1) H n-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T 2 ….
… + C (n, r) H nr T r +…. + C (n, n) Tn … (11.1)
Wobei C = mögliche Kombinationen.
C (n, r) = n! / R! (n - r)!
n! bedeutet 1 x 2 x 3 x…. xn
n = Gesamtzahl der Beobachtungen oder Personen.
r = Anzahl der Beobachtungen oder Personen, die gleichzeitig aufgenommen wurden.
Also binomiale Erweiterung von
Wenn die obigen Daten in einem Diagramm als Histogramm und Frequenzpolygon dargestellt werden, ist dies wie folgt (Abb. 11.1).
Daher ist die Zahl, die wir aus einem Wurf von 10 Münzen (H + T) 10 erhalten haben, ein vieleckiges symmetrisches Vieleck.
Und wenn wir die Anzahl der Münzen weiter erhöhen, würde das Polygon mit jeder Erhöhung eine vollkommen glatte Oberflächenlinie aufweisen, wie in der nachstehenden Ziffer 11.2 angegeben:
Diese glockenförmige Kurve wird als "Normal Probability Curve" bezeichnet. Daher wird der "Graph der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung eine kontinuierliche glockenförmige Kurve, die symmetrisch um den Mittelwert ist" als normale Wahrscheinlichkeitskurve bezeichnet.
In der Statistik ist es wichtig, weil:
(a) Hierbei handelt es sich um die Verteilung vieler natürlich vorkommender Variablen, wie z. B. die Intelligenz der Schüler der 8. Klasse, die Höhe der Schüler der 10. Klasse usw.
(b) Die Verteilung der Mittelwerte der aus den meisten Stammpopulationen entnommenen Proben ist normal oder annähernd, wenn die Proben ausreichend groß sind.
Daher hat die Normalkurve in den Sozial- und Verhaltenswissenschaften eine große Bedeutung. Bei der Verhaltensmessung kommen die meisten Aspekte der Normalverteilung nahe. Daher wird die Normalwahrscheinlichkeitskurve oder am häufigsten als NPC bezeichnet als Referenzkurve verwendet. Um die Nützlichkeit des NPCs zu verstehen, müssen wir die Eigenschaften des NPCs verstehen.
Eigenschaften der Normalwahrscheinlichkeitskurve:
Einige der Hauptmerkmale der normalen Wahrscheinlichkeitskurve sind wie folgt:
1. Die Kurve ist bilateral symmetrisch.
Die Kurve ist symmetrisch zu ihrer Ordinate des Mittelpunkts der Kurve. Dies bedeutet, dass die Größe, Form und Steigung der Kurve auf einer Seite der Kurve mit der anderen Seite der Kurve identisch ist. Wenn die Kurve halbiert wird, stimmt ihre rechte Seite vollständig mit der linken überein.
2. Die Kurve ist asymptotisch:
Die Normal-Wahrscheinlichkeitskurve nähert sich der horizontalen Achse und erstreckt sich von -∞ bis + +. Bedeutet, dass die äußersten Enden der Kurve die Grundlinie berühren, diese jedoch niemals berühren.
Es ist in der folgenden Abbildung (11.3) dargestellt:
3. Mittelwert, Median und Modus:
Der Mittelwert, der Median und der Modus liegen im Mittelpunkt und sind numerisch gleich.
4. Die Wendepunkte treten bei ± 1 Standardabweichungseinheit auf:
Die Einströmungspunkte in einem NPC treten bei ± 1 & sgr; zur Einheit über und unter dem Mittelwert auf. An dieser Stelle ändert sich also die Kurve in Bezug auf die horizontale Achse von konvex zu konkav.
5. Die Gesamtfläche des NPC ist in ± Standardabweichungen unterteilt:
Die Summe der NPCs ist in sechs Standardabweichungseinheiten unterteilt. Von der Mitte aus ist es in drei + ve Standardabweichungseinheiten und drei "v" Standardabweichungseinheiten unterteilt.
Daher umfassen ± 3 & sgr; von NPC eine unterschiedliche Anzahl von Fällen getrennt. Zwischen ± 1 σ liegen die mittleren 2/3-Fälle oder 68, 26%, zwischen ± 2 σ liegen 95, 44% und zwischen ± 3 σ 99, 73% und jenseits von + 3 σ fallen nur noch 0, 37%.
6. Die Y-Koordinate stellt die Höhe der Normal-Wahrscheinlichkeitskurve dar:
Die Y-Koordinate des NPC repräsentiert die Höhe der Kurve. In der Mitte tritt die maximale Ordinate auf. Die Höhe der Kurve am Mittel- oder Mittelpunkt wird mit Y 0 bezeichnet .
Um die Höhe der Kurve an einem beliebigen Punkt zu bestimmen, verwenden wir die folgende Formel:
7. Es ist unimodal:
Die Kurve hat nur einen Spitzenpunkt. Weil die maximale Frequenz nur an einem Punkt auftritt.
8. Die Höhe der Kurve nimmt symmetrisch ab:
Die Höhe der Kurve nimmt vom Mittelpunkt aus symmetrisch in beide Richtungen ab. Bedeutet, dass M + σ und M - σ gleich sind, wenn der Abstand vom Mittelwert gleich ist.
9. Der Mittelwert von NPC ist µ und die Standardabweichung ist σ:
Wenn der Mittelwert des NPC den Populationsmittelwert darstellt, wird er durch µ (Meu) dargestellt. Die Standardabweichung der Kurve wird durch den griechischen Buchstaben σ dargestellt.
10. Bei der normalen Wahrscheinlichkeitskurve ist die Standardabweichung um 50% größer als der Q:
Im NPC wird das Q im Allgemeinen als wahrscheinlicher Fehler oder PE bezeichnet.
Die Beziehung zwischen PE und a kann wie folgt angegeben werden:
1 PE = .6745σ
1σ = 1, 4826 PE.
11. Q kann als Maßeinheit zur Bestimmung der Fläche innerhalb eines bestimmten Teils verwendet werden:
12. Die durchschnittliche Abweichung des Mittelwerts von NPC beträgt 0, 78 σ:
In einem NPC besteht ein konstanter Zusammenhang zwischen Standardabweichung und durchschnittlicher Abweichung.
13. Die Modellordinate variiert zunehmend von der Standardabweichung:
In einer Normal-Wahrscheinlichkeitskurve variiert die modale Ordinate zunehmend zur Standardabweichung. Die Standardabweichung der Normal-Wahrscheinlichkeitskurve nimmt zu, die modale Ordinate nimmt ab und umgekehrt.
Anwendungen der Normalwahrscheinlichkeitskurve:
Einige der wichtigsten Anwendungen der normalen Wahrscheinlichkeitskurve sind wie folgt:
Die Prinzipien der Normal-Wahrscheinlichkeitskurve werden in den Verhaltenswissenschaften in vielen verschiedenen Bereichen angewendet.
1. NPC wird verwendet, um den Prozentsatz der Fälle in einer Normalverteilung innerhalb bestimmter Grenzen zu bestimmen:
Die Normal-Wahrscheinlichkeitskurve hilft uns zu bestimmen:
ich. Wie viel Prozent der Fälle liegen zwischen zwei Punkten einer Verteilung.
ii. Wie viel Prozent der Bewertungen liegen über einer bestimmten Verteilung einer Verteilung.
iii. Wie viel Prozent der Bewertungen liegen unter einer bestimmten Verteilung einer Verteilung.
Beispiel:
Bei einer Verteilung der Wertungen mit einem Mittelwert von 24 und σ von 8. Bei Normalität wird der Prozentsatz der Fälle zwischen 16 und 32 liegen.
Lösung:
Hier müssen wir zuerst die Punkte 16 und 32 in einen Standardwert umwandeln.
Wenn man in die Tabelle A, den Tabellenbereich unter NPC, eintritt, wird festgestellt, dass 34, 13 Fälle zwischen dem Mittelwert und –1σ liegen und 34, 13 Fälle zwischen dem Mittelwert und + 1σ liegen. So deckt ± σ 68, 26% der Fälle ab. So werden 68, 25% der Fälle zwischen 16 und 32 liegen.
Beispiel:
Bei einer Verteilung der Scores mit einem Mittelwert von 40 und σ von 8. Bei Normalität liegt der Prozentsatz der Fälle oberhalb und unterhalb der Bewertung 36.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Rohwert 36 in einen Standardwert umwandeln.
Wenn man in die Tabelle A den Tabellenbereich unter dem NPC eingibt, wird festgestellt, dass 19, 15% der Fälle zwischen dem Mittelwert und dem -, 5 & sgr; liegen. Daher ist der Gesamtprozentsatz der Fälle über der Punktzahl 36 50 + 19, 15 = 69, 15% und unter der Punktzahl 36 50 - 19, 15 = 30, 85%. So liegen in der Verteilung 69, 15% der Fälle über dem Wert 36 und 30, 85% unter dem Score 36.
2. Der NPC wird verwendet, um den Wert einer Bewertung zu bestimmen, deren Perzentilrang angegeben ist:
Durch die Verwendung der NPC-Tabelle können wir den Rohwert der Person bestimmen, wenn der Perzentilrang angegeben wird.
Beispiel:
In einer Verteilung der Punktzahlen eines Dossiers liegt Pinkys Perzentilrang in der Statistik bei 65. Der Mittelwert der Verteilung beträgt 55 mit einer Standardabweichung von 10. Finden Sie jedoch den Rohwert von Pinky in der Statistik.
Lösung:
Da Pinkys Perzentilrang 65 beträgt, liegt sie in einer Normalverteilung 35% über dem Mittelwert. Durch Eingabe in die Tabelle 'A' haben wir festgestellt, dass 35% vom Mittelwert + 1, 04 σ sind.
Indem Sie den Wert in 'Z' setzen.
3. NPC wird verwendet, um die Grenzwerte einer Normalverteilung zu ermitteln, die einen bestimmten Prozentsatz der Fälle umfassen:
Wenn eine Verteilung normalverteilt ist und wir zu diesem Zeitpunkt über die Verteilung Mittelwert und die Standardabweichung kennen, können wir unter Verwendung des Tabellenbereichs unter NPC die Grenzwerte bestimmen, die einen bestimmten Prozentsatz von Fällen einschließen.
Beispiel:
Bei einer Verteilung der Scores mit einem Mittelwert von 20 und einem σ von 5. Wenn wir von Normalität ausgehen, enthalten die Grenzwerte die mittleren 75% der Fälle.
Lösung:
In einer Normalverteilung umfassen die mittleren 75% der Fälle 37, 5% der Fälle über dem Mittelwert und 37, 5% der Fälle unter dem Mittelwert. Aus der Tabelle A können wir sagen, dass 37, 5% der Fälle 1, 15 σ-Einheiten umfassen. Daher liegen die mittleren 75% der Fälle zwischen dem Mittelwert und ± 1, 15 Einheiten.
In dieser Verteilung werden also in der Mitte 75% die Grenzwerte 14.25 bis 25.75 enthalten.
4. Es wird verwendet, um zwei Verteilungen im Hinblick auf die Überlappung zu vergleichen:
Wenn die Bewertungen von zwei Gruppen für eine bestimmte Variable normal verteilt sind. Was wir über die Gruppe wissen, ist der Mittelwert und die Standardabweichung beider Gruppen. Und wir möchten wissen, wie weit die erste Gruppe die zweite Gruppe überschreitet oder umgekehrt, dass wir dies mithilfe des Tabellenbereichs unter NPC feststellen können.
5. Der NPC hilft uns, eine Gruppe nach bestimmten Fähigkeiten in Untergruppen einzuteilen und die Noten zuzuordnen:
Wenn wir eine große Gruppe in bestimmte Untergruppen einteilen möchten, verwenden wir die Standardabweichungseinheiten eines NSC als Maßeinheiten.
Beispiel:
Ein Leistungstest wurde an den 600 Schülern der 8. Klasse durchgeführt. Der Lehrer möchte diese Schüler in vier Klassen einteilen, nämlich A, B, C und D entsprechend ihrer Leistung im Test. Unter der Annahme, dass die Verteilung der Ergebnisse normal ist, können Sie die Anzahl der Schüler in jede Gruppe einteilen.
Lösung:
Die Fläche unter einem NPC ist in ± 3σ-Einheiten oder 6σ-Einheiten unterteilt.
Hier müssen wir die Schüler in 4 Abschnitte unterteilen.
So hat jeder Abschnitt
Wenn wir also den Abschnitt in der Reihenfolge der Verdienste verteilen.
Der Abschnitt-A wird innerhalb von 1, 5 bis 3 liegen
Abschnitt B liegt innerhalb des Mittelwerts bis 1, 5 σ
Abschnitt C liegt innerhalb von Mean bis -1, 5 σ
und Abschnitt D wird mit in -1.5σ bis -3σ sein.
6. Der NPC hilft bei der Bestimmung der relativen Schwierigkeit von Testgegenständen oder Problemen:
Wenn bekannt ist, wie viel Prozent der Schüler ein Problem erfolgreich gelöst haben, können Sie den Schwierigkeitsgrad des Objekts oder Problems mithilfe des Tabellenbereichs unter NPC bestimmen.
7. NPC ist nützlich, um eine Häufigkeitsverteilung zu normalisieren:
Um eine Häufigkeitsverteilung zu normalisieren, verwenden wir eine normale Wahrscheinlichkeitskurve. Für die Standardisierung eines psychologischen Tests ist dieser Prozess sehr wichtig.
8. Um die Signifikanz von Beobachtungen von Experimenten zu testen, verwenden wir NPC:
In einem Experiment testen wir die Beziehung zwischen Variablen, ob diese auf zufällige Fluktuationen oder Fehler des Probenahmeverfahrens zurückzuführen sind oder ob es sich um eine reale Beziehung handelt. Dies geschieht mit Hilfe des Tabellenbereichs unter NPC.
9. NPC wird verwendet, um die Bevölkerung aus der Stichprobe zu verallgemeinern:
Wir berechnen den Standardfehler des Mittelwerts, den Standardfehler der Standardabweichung und andere Statistiken, um die Population, aus der die Stichprobe gezogen wird, zu verallgemeinern. Für diese Berechnung verwenden wir den Tabellenbereich unter NPC.
