Lineare Programmierung: Anwendungen, Definitionen und Probleme
Lineare Programmierung: Anwendungen, Definitionen und Probleme!
(i) Entwicklung von Zeitplänen für die Nahrungsmittelindustrie und für Erdölraffinerien usw.
(ii) In der metallverarbeitenden Industrie wird es zur Ladenbeladung und zur Entscheidung der Wahl zwischen dem Kauf und der Herstellung verschiedener Teile verwendet.
(iii) Es wird zur Bewertung verschiedener Eisenerze in der Eisen- und Stahlindustrie verwendet.
(iv) Es wird verwendet, um die Trimmverluste in Papierfabriken zu reduzieren.
(v) Es wird verwendet, um das optimale Routing von Massagen im Kommunikationsnetzwerk zu finden.
Lineare Programmierung Definition:
Die lineare Programmierung ist ein mathematisches Werkzeug / eine Technik zur Bestimmung der besten Nutzung der Ressourcen einer Organisation. Die lineare Programmierung soll Managern bei der Planung und Entscheidungsfindung helfen. Als Instrument der Entscheidungsfindung hat es seinen Wert in verschiedenen Bereichen wie Produktion, Marketingfinanzierung, Forschung und Personaleinsatz gezeigt.
Ermittlung des optimalen Produktmixes, Zuordnung von Transportmappen zu Portfolioauswahlmaschinen; Anlagestandort, Arbeitsaufteilung usw. sind die wenigen Arten von Problemen, die mit Hilfe der linearen Programmierung gelöst werden können.
"Die Analyse von Problemen, bei denen eine lineare Funktion einer Anzahl von Variablen maximiert (oder minimiert) werden soll, wenn diese Variablen einer Anzahl oder Beschränkungen in Form von linearen Gleichungen unterliegen", Samuelson und Slow.
Laut Loomba ist „die lineare Programmierung nur ein Aspekt eines sogenannten Systemansatzes für das Management, bei dem alle Programme hinsichtlich ihrer endgültigen Auswirkungen auf die Verwirklichung der Geschäftsziele entworfen und bewertet werden“.
Lineare Programmierprobleme - Grafische Methode:
Die Schritte des grafischen Verfahrens können wie folgt zusammengefasst werden;
1. Formulieren Sie das lineare Programmierproblem
2. Zeichnen Sie die angegebenen Randbedingungslinien als Gleichungen auf
3: Identifizieren Sie anhand des obigen Diagramms den möglichen Lösungsbereich
4. Suchen Sie den Eckpunkt des möglichen Lösungsbereichs.
5. Berechnen Sie den Wert der Zielfunktion an den Eckpunkten.
6. Wählen Sie nun den Punkt aus, an dem die Zielfunktion den optimalen Wert hat.
Beispiel 1:
Nach Abschluss der Bauarbeiten stellte Mr. Gopalan fest, dass 100 Quadratmeter Sperrholzschrott und 80 Quadratmeter Weißkiefernschrott in brauchbarer Form vorliegen, die für den Bau von Tischen und Buchdecken verwendet werden können. Um einen Tisch zu machen, sind 16 Quadratmeter Sperrholz und 8 Quadratmeter weiße Kiefer erforderlich, 12 Quadratmeter Sperrholz und 16 Quadratmeter weiße Kiefer, um ein Bücherregal zu konstruieren. Durch den Verkauf der fertigen Produkte an einen lokalen Händler kann er einen Gewinn von Rs erzielen. 25 auf jedem Tisch und Rs. 20 auf jedem Bookcase. Wie kann er das übriggebliebene Holz am vorteilhaftesten nutzen? Wenden Sie die grafische Methode an, um das LLP zu lösen
Lösung:
Nehmen wir an, dass X 2 das Nein der Tabellen und X 2 das Nein der Buchfälle ist
Um die Beschränkung vorübergehend in der Grafik darzustellen, werden wir die Ungleichungen wie folgt in eine Gleichung umwandeln:
Jede Kombination von Werten von x 1 und x 2, die diese Einschränkungen erfüllt, wird als praktikable Lösung bezeichnet. Der Bereich OABC in Abb. 15.1, der durch die Einschränkung erfüllt wird, wird durch den schattierten Bereich dargestellt und ist als realisierbarer Lösungsbereich bekannt.
Max Z = 160
x 1 = 4
x 2 = 3 Ans.
Beispiel 2
Ein Möbelhersteller produziert Stühle und Tische. Die unten angegebenen Daten zeigen die verbrauchten Ressourcen und den Gewinn pro Einheit. Weiterhin wird angenommen, dass Holz und Arbeit die beiden Ressourcen sind, die bei der Herstellung von Möbeln verbraucht werden. Der Inhaber der Firma möchte ermitteln, wie viele Stühle und Tische hergestellt werden sollten, um den Gesamtgewinn zu maximieren.
Lösung:
Sei x die Anzahl der Tabellen, x2 die Nr. von Stühlen so.
Um nun die Einschränkungen in der Grafik temporär darzustellen, werden wir die Ungleichungen in Gleichungen umwandeln:
Ähnlich in der Gleichung
Jede mögliche Kombination des Wertes von x, die die angegebene Einschränkung erfüllt, ist als mögliche Lösung bekannt. Der durch Einschränkungen bedingte Bereich OABC 'm Abb. 15.2 ist durch einen schattierten Bereich dargestellt und wird als realisierbarer Lösungsbereich bezeichnet. Die Koordinate des Punktes an der Ecke des Bereichs kann durch Lösen der zwei Gleichungen der Linien erhalten werden, die sich an Punkt B schneiden
Also ist Z = 96
x 1 = 4
x 2 = 9 Ans.
Beispiel 3:
Ein Unternehmen stellt zwei Arten von Stiften her, beispielsweise A und B. Stift A ist eine überlegene Qualität und 6 ist eine niedrigere Qualität. Gewinn auf den Pens A und B ist Rs. 5 und Rs.3 pro Stift. Das Rohmaterial für jeden Stift A ist doppelt so groß wie das für Stift B.
Die Rohstoffversorgung reicht nur für 1000 Stifte des Typs B pro Tag. Für Stift A ist ein spezieller Clip erforderlich. Pro Tag stehen nur 400 solcher Clips zur Verfügung. Für Stift B stehen pro Tag nur 700 Clips zur Verfügung. Finden Sie grafisch den Produktmix, damit das Unternehmen maximalen Gewinn erzielen kann.
(MBA der Universität Delhi April 1988)
Lösung:
Sei x 1 = Anzahl der Schreibgeräte vom Typ A
x 2 = Anzahl der Pens vom Typ B
Die mathematische Formulierung der Probleme lautet
Durch die Umwandlung von Ungleichungen der obigen Einschränkungen in Gleichungen zum Darstellen des Graphen erhalten wir
Durch Aufzeichnen der obigen Linien in der Grafik haben wir x 1 x 2, um alle drei Bedingungen als x 1 ≥ 0 und x 2 ≥ 0 zu erfüllen, so dass die obige Abbildung 15.3 ODABE als möglichen Bereich darstellt.
Die verschiedenen Punkte werden als unter bewertet.
Aus der obigen Tabelle ist ersichtlich, dass der Maximalwert von Rs ist. 2850 am Punkt B
Also ist x 1 = 150, x 2 = 700 & Z = 2850
Beispiel 4:
GJ Breveries Ltd. Mit zwei Abfüllanlagen, eine in G und die andere in J. Jede Fabrik produziert drei Getränke-Whisky, Bier und Brandy mit den Namen A, B bzw. C. Die Anzahl der pro Tag produzierten Flaschen ist wie folgt.
Ein Markt gab an, dass im Juli 20000 Flaschen Whiskyflaschen, 40000 Bierflaschen und 44000 Flaschen Branntwein nachgefragt werden müssen. Die Betriebskosten pro Tag für die Anlagen G und J betragen 600 und 400 Geldeinheiten. Wie viele Tage soll jede Anlage im Juli laufen, um die Produktionskosten zu minimieren und gleichzeitig die Marktnachfrage zu erfüllen? Grafisch lösen?
Lösung:
Die Daten des Problems lauten wie folgt:
Das Ziel besteht nun darin, die Kosten zu minimieren, die auf mathematische Weise wie folgt dargestellt werden können.
Um die Beschränkungen in der Grafik aufzuzeichnen, lassen Sie die Ungleichungen der obigen Beschränkungen in Gleichungen um, die wir erhalten
1500 x 1 + 1500 x 2 = 20000
3000x1 + 1000x2 = 40000
20000 × 1 + 5000 × 2 = 44000
Vereinfachung der obigen Gleichungen
Die Lösung liegt im ersten Quadranten, da jeder von ihnen größer oder gleich den Typeinschränkungen war, so dass sich die Punkte (x v x 2 ) in dem Bereich befinden, der rechts von jeder der gezeichneten Linien fällt.
Aus dem obigen unbegrenzten Lösungsbereich ist der ABC-Lösungsbereich, und um den Wert bei B zu finden, lösen wir gleichzeitig die Querschnittsgleichung &
Beispiel 5
Der Betreiber einer Ölraffinerie muss sich für die optimale Mischung aus zwei möglichen Mischprozessen entscheiden, bei denen der Input und der Output pro Produktionslauf wie folgt sind:
Für Rohöl A und B stehen maximal 200 bzw. 150 Einheiten zur Verfügung. Die Marktanforderungen zeigen, dass mindestens 100 Einheiten Ganolin X und damit Einheiten von Benzin Y hergestellt werden müssen.
Die Gewinne pro Produktionslauf von Prozess 1 und Prozess 2 sind Rs. 300 und Rs. Jeweils 400. Löse die LP mit grafischer Methode.
(Gujarat Universität MBA 1989)
Lösung:
Nach den Angaben ist die mathematische Formulierung der Probleme
Max Z = 300 × 1 + 400 × 2
Vorbehaltlich an
5 × 1 + 4 × 2 = ≤ 200
3 × 1 + 5 × 2 = ≤ 150
5 × 1 + 4 × 2 = ≥ 100
8 × 1 + 4 × 2 = ≥ 80
Um diese Einschränkungen in der Grafik aufzuzeichnen, betrachten wir diese in Gleichungen als Gleichung
Wenn wir Werte in der Grafik darstellen, erhalten wir sie wie in Abb. 15.5.
Die Lösung liegt an einem der Eckpunkte des Lösungsbereichs LMN, O, P, und um den unbekannten Wert zu bestimmen, dh von O lösen wir die Schnittgleichungen gleichzeitig, dh
Beispiel 6:
Ein Unternehmen produziert Produkt x und y hat eine Gesamtproduktion von 9 Tonnen Kapazität fortgesetzt. Pro Tag benötigen x & y die gleiche Produktionskapazität. Das Unternehmen hat einen unbefristeten Vertrag über die Lieferung von mindestens 2 Tonnen x und mindestens 3 Tonnen pro Tag an ein anderes Unternehmen. Jede Tonne von x erfordert 20 Maschinenstunden und jede Tonne von y benötigt 50 Maschinenstunden.
Die maximal mögliche Anzahl von Maschinenstunden pro Tag beträgt 360. Die gesamte Produktion des Unternehmens kann verkauft werden und der erzielte Gewinn beträgt Rs. 80 pro Tonne x und Rs. 120 pro Tonne von y. Es ist erforderlich, den Produktionszeitplan für den maximalen Gewinn zu bestimmen und den Produktionszeitplan für den maximalen Gewinn und den Gewinn zu berechnen.
(Delhi Universität MBA April 1983)
Lösung:
Die angegebene LP kann mathematisch wie folgt geschrieben werden:
Die Ungleichungen sollten als Gleichungen behandelt werden, um die folgenden Werte in der Grafik wie folgt darzustellen:
Lassen Sie uns diese Gleichungen in der Grafik wie in Abb. 15.6 dargestellt darstellen.
Aus dem Diagramm geht hervor, dass EFGH die Lösungsregion ist und die Lösung am Eckpunkt von EFGH liegt.
Der Wert durch Inspektion bei
E = (2, 3)
F = (6, 3)
Für den Punkt „Der Wert kann durch gleichzeitige Gleichungen der Zeilen bei Einstellung von H berechnet werden
20 × 1 + 50 × 2 = 360
x 1 = 2
x 2 = 320/50 = 6, 4
Wie weise am Punkt G, der der Schnittpunkt von Gleichungen ist
20 × 1 + 50 × 2 = 360… (1)
x 1 + x 2 = 9… (2)
Wir lösen diese Gleichungen
x 1 = 3, x 2 = 6
Der maximale Gewinn liegt also bei Punkt G.
x 1 = 3
x 2 = 6
Z = 960 Ans.
Beispiel 7:
Das Standardgewicht eines Sonderziegels beträgt 5 kg und enthält zwei Grundbestandteile 6 1 und S 2, die Rs kosten. 5 pro kg und S 2 kostet Rs. 8 pro kg
Die Festigkeitsüberlegung besagt, dass der Ziegel nicht mehr als 4 kg S und mindestens 2 kg S 2 enthält, da die Nachfrage nach dem Produkt wahrscheinlich mit dem Preis des Ziegels zusammenhängt und die grafischen Mindestkosten des Ziegels, der die oben genannten Anforderungen erfüllt, ausmachen Bedingungen.
(ICWA Juni 1982)
Lösung:
Die angegebenen Daten können wie folgt mathematisch dargestellt werden:
Wenn wir die Ungleichungen der Bedingungen vorerst als Gleichung behandeln, kann die Gleichung in einem Diagramm dargestellt werden.
Jetzt zeichnen wir diese Werte in der Grafik.
Da eine der Einschränkungen Gleichheit x 1 + x 2 = 5 ist, gibt es keine Lösung, sondern einen Lösungspunkt, der alle Bedingungen erfüllt, dh Punkt S (3, 2).
Z = 31
x 1 = -3
x 2 = 2Ans.
Beispiel 8:
Lösen Sie das folgende lineare Programmierproblem grafisch.
Lösung:
Zum Zeichnen des Graphen werden die Ungleichungen der gegebenen Bedingungen in Gleichungen umgewandelt
Plotten Sie nun die obigen Linien in der Grafik, wie in Abb. 15.8 dargestellt. Der durchführbare Lösungsbereich, der durch einen schattierten Bereich begrenzt ist und von ABCDE begrenzt wird. Der Wert von Z an verschiedenen Punkten ist wie folgt.
Der Punkt A, an dem sich die Linien schneiden, ist
2x 1 - x 2 = -2
2x 1 + 3 × 2 = 12
Wenn wir sie gleichzeitig lösen, bekommen wir
x 1 = 0, 75
x 2 = 3, 5
Bei Punkt B liegen die sich kreuzenden Linien
2x 1 - x 2 = -2
-3x 1 + 4x 2 = 12
Beim Lösen dieser Gleichungen erhalten wir die Koordinaten von B als
x 1 = 0, 8
x 2 = 3, 6
Am Punkt C sind die Schnittpunkte
x 1 = 4
und -3x 1 + 4x 2 = 12
So werden Koordinaten von C
x 1 = 4 und x 2 = 6
Am Punkt D kreuzen sich die Linien
x 1 = 4 und x 2 = 2
Also sind die Koordinaten von D (4, 2)
Am Punkt E liegen Schnittgleichungen
2x 1 + 3 × 2 = 12
x 2 = 2
So werden die Koordinaten von E beim Lösen dieser Gleichungen
x 1 = 3 dh (3, 2)
x = 2
