Bogenrippen: Kräfte und Momente, Schub und Schere

Nachdem Sie diesen Artikel gelesen haben, erfahren Sie Folgendes: - 1. Kräfte und Momente an den Bogenrippen 2. Normaler Schub an einem beliebigen Abschnitt der Bogenrippe 3. Radialschere 4. Linien beeinflussen.

Kräfte und Momente an den Arch Ribs:

ich. Temperatureffekt:

In Abb. 13.8 sind ein zweigelenkiger Bogen und ein gebundener Bogen dargestellt, die den Einfluss des Temperaturanstiegs auf die Bogenrippen zeigen. Aufgrund des Temperaturanstiegs wird die Bogenrippe ACB für den zweigelenkigen Bogen auf AC'B und für den gebundenen Bogen auf AC'B zunehmen.

Die Wirkung der Temperatur bei einem zweigelenkigen Bogen unterscheidet sich von derjenigen für gebundene Bögen. Im Falle des ersteren bietet die Längenzunahme der Bogenrippe, da es keine Verschiebung der Stützen gibt, Schub auf die Stützen, und die Krone des Bogens geht senkrecht von C nach C '.

In letzterem Fall versucht die Walze jedoch, das freie Ende B nach B 'zu bewegen, und als solches wird versucht, den Schub freizugeben, die Krawatte dagegen versucht, das Ende B in Position zu halten bis es so weit gedehnt ist, dass die Zugkraft in der Krawatte dem Schub des Bogens entspricht.

Diese Kraft für gebundene Bögen ist geringer als für die angelenkten Bögen (Spannweite, Steigung usw. der beiden Bögen, die gleich bleiben). Da jedoch die Dehnung in der Krawatte gering ist und die Reduktion von H nicht sehr groß ist, kann sowohl die Krawatte als auch die Bogenrippe für alle praktischen Zwecke für _{Ht ausgelegt sein,} selbst für gebundene Bögen.

Wenn t der Temperaturanstieg ist und α der Ausdehnungskoeffizient ist, dann wird die Länge der Bogenrippe ACB auf AC'B zunehmen, so dass AC'B = ACB (1 + αt) ist. Wenn L die Spannweite des Bogens ist, kann bewiesen werden, dass der Träger B, wenn er sich aufgrund des Temperatureffekts frei bewegen kann, horizontal zu B 'geht, so dass BB' = Lαt ist.

Das heißt, durch Verhindern der Bewegung von B ist die horizontale Ausdehnung des Bogens Lαt.

Wenn H _t der Horizontalschub aufgrund der Verhinderung der Ausdehnung des Bogens ist, ist das Biegemoment an einem Element des Bogens in einer Höhe y von der Federung gegeben durch:

M = Hty (13, 35)

Es ist bekannt, dass die horizontale Zunahme der Spanne δL eines Bogens aufgrund des Biegemoments gegeben ist durch:

Der Querschnitt und damit die Trägheitsmomente eines Bogenabschnitts variieren vom Maximum an den Widerlagern bis zum Minimum an der Krone. Zum Zwecke des Entwurfs kann das Trägheitsmoment eines beliebigen Abschnitts x als I = I _C sec & thgr; angenommen werden, wobei I _C das Trägheitsmoment des Kronenabschnitts ist und & thgr; die Neigung des Bogens ist.

Durch Ersetzen von ds = dx sec & thgr; und I = I _c Sec & thgr; wird die Gleichung 13.37 zu:

Das Schrumpfen und der plastische Fluss des Betons verkürzt die Bogenrippe und als solches wird H zu einem Zug an den Abutments. Ein Temperaturabfall führt auch zu einem Zug. Daher muss der Effekt des Temperaturabfalls ebenso berücksichtigt werden wie das Schrumpfen und der plastische Fluss des Betons, um den schlimmsten Bedingungen gerecht zu werden.

ii. Bogenverkürzung:

Durch die Bogenverkürzung wird ein Teil der durch äußere Belastung verursachten Horizontalkraft reduziert.

Horizontalkraft aufgrund äußerer Belastung ist gegeben durch:

Der reduzierte Wert von H aufgrund der externen Belastung einschließlich des Effekts der Bogenverkürzung kann durch den folgenden Ausdruck gegeben werden:

Wobei M ₁ = B Endmoment an einem beliebigen Abschnitt aufgrund äußerer Belastungen gilt der Bogen als einfach unterstützter Balken.

A = Querschnittsfläche der Bogenrippe an einem beliebigen Punkt.

E = Elastizitätsmodul des Bogenbetons.

Wenn E für denselben Bogen konstant ist und ds = dx sec & thgr; A = Ac sec & thgr; (ungefähr) und I = I _c sec & thgr ;, wird die Gleichung 13.41 zu:

Wenn H _a bekannt ist, kann der Zeitpunkt M _a an einem beliebigen Abschnitt des Bogens aufgrund äußerer Belastung einschließlich des Effekts der Bogenverkürzung anhand des nachstehenden Ausdrucks bewertet werden:

M _a = (M ₁ - H _a y) (13.43)

iii. Schrumpfung und plastischer Fluss von Beton:

Der Schrumpfeffekt der Bogenrippe ist ähnlich wie der Temperaturabfall. Die Schrumpfungsspannung Cs kann daher die Temperaturspannung in Gleichung 13.39 ersetzen, um die Zugspannung Hs aufgrund der Schrumpfung zu erhalten.

In Bezug auf die Wirkung des plastischen Fließens von Beton kann der Wert von E auf die Hälfte des Momentanwerts geändert werden, während die Kräfte und Momente bestimmt werden.

Bei der Betrachtung der Ausdrücke 13.39, 13.40, 13.42 und 13.44 für die Bewertung der horizontalen Kräfte kann angemerkt werden, dass nur die Temperatur und der Schrumpf durch den plastischen Fluss von Beton beeinflusst werden, da die Ausdrücke, die diese Effekte betreffen, nur den E-Ausdruck enthalten.

Illustratives Beispiel 1:

Ein zweigelenkiger Parabelbogen mit 40 m Spannweite wird an jedem vierten Punkt mit 120 KN belastet (Abb. 13.9). Der Aufstieg des Bogens beträgt 5 m. Das Trägheitsmoment der Bogenrippe variiert mit der Sekante der Neigung des Bogens. Finden Sie die Kräfte und Momente unter Berücksichtigung der Auswirkungen von Temperaturschwankungen, Bogenverkürzung, Schrumpfung und plastischem Fluss von Beton.

Gegeben:

a = 11, 7 · 10 & supmin; & sup6; pro Grad Celsius, Cs = 4 · 10 & supmin; & sup4 ;, E = 31, 2 · 10 & sup4; Kg / cm², t = 18ºC, AC = bxd = 30 · 150 cm = 4500 cm² I _IC = 8, 5 × 10 ⁶ cm ⁴ .

Lösung:

Aus Gleichung 13.10 lautet die Gleichung einer Parabelbogenrippe:

Einbindung des Zählers:

Integration des Nenners:

Biegemomente für externe Lasten und Horizontalschübe:

y bei C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40 - 10) = 3, 75 m; y bei D = 5, 0 m

. ^. . Moment bei A = Moment bei B = 0 (da der Bogen bei A & B angelenkt ist)

Moment bei C = Moment bei E = (M - Hy) = (VA x - Hy) = 180 x 10 - 455 x 3, 75 = 93, 75 KNm

Moment bei D = V _A x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20 - 10) - 455 x 5 = 125 KNm

Temperatureffekt:

Die Effekttemperaturänderung wird als 2/3 der tatsächlichen Temperaturänderung angenommen.

Bogenverkürzung:

Aus der Gleichung 13.42 ergibt sich der Wert von H einschließlich des Effekts der Bogenverkürzung durch:

Wirkung der Schrumpfung:

Schrumpfungskoeffizient C _s = 4 x 10 ^- ⁴

Wenn die Bogenrippe abschnittsweise betoniert wird, um die Schrumpfung zu reduzieren, kann dieser Wert als 50% von C _s, dh 2 x 10 ^- ^{4, angenommen werden} .

Wirkung des Kunststoffflusses:

Der Wert von E kann als die Hälfte angenommen werden, während der Temperatur- und Schwindungseffekt geschätzt wird. Daher können die Werte von _Ht und Hs unter Berücksichtigung des plastischen Betonflusses der Bogenrippe um 50 Prozent verringert werden.

Zusammenfassung der Ergebnisse:

(a) H aufgrund äußerer Lasten = 455 KN (Schub)

(b) H _{a unter} Berücksichtigung der Bogenverkürzung = 448, 6 KN (Schub)

(d) H _s aufgrund von Schrumpfung einschließlich plastischem Fluss = 50% von 39, 0 = (-) 19, 5 KN (Zug)

. ^. . Maximum H = 448, 6 + 13, 7 - 19, 5 = 442, 8 KN (Schub)

Minimum H = 448, 6 - 13, 7 - 19, 5 = 415, 4 KN (Schub)

Design Moment auf der Bogenrippe an verschiedenen Stellen:

Biegemomente an verschiedenen Abschnitten des Bogens sind in Abb. 13.10 dargestellt. Es sei darauf hingewiesen, dass der in der Bogenrippe induzierte horizontale Schub die freien Biegemomente um nahezu 87 Prozent reduziert hat.

Normaler Schub auf jeden Abschnitt der Bogenrippe:

Für die Gestaltung eines beliebigen Abschnitts der Bogenrippe müssen die Größe des Biegemoments und der normale Schub bekannt sein. Die Biegemomente für Eigenlasten und andere Effekte wie Temperatur, Bogenverkürzung, Schwindung, plastisches Fließen usw. können wie zuvor beschrieben erhalten werden.

Die Biegemomente für stromführende Lasten können durch die Verwendung von Einflusslinien erhalten werden. Um alle Konstruktionskräfte und -momente für jeden kritischen Abschnitt des Bogens zu erhalten, müssen daher nicht nur die Biegemomente, sondern auch die Stöße und Scheren bekannt sein.

Das Verfahren wird nun erklärt. Der Normalschub für jeden Abschnitt X der Bogenrippe in einem Abstand x von A, der dem Horizontalschub H und dem Vertikalschub V unterworfen ist, ist gegeben durch P _x = H cos & thgr; + V sin & thgr ;.

Wenn eine bewegliche Last W auf den Bogen wirkt, ist der normale Schub in einem Abschnitt X (in einem Abstand x von A) gegeben durch:

(a) Wenn die Last W innerhalb von A bis X liegt:

P _X = H _A cos & thgr; + V _A sin & thgr; - W sin & thgr ;.

= H _A cos & thgr; - (W - V _A ) sin & thgr; = H _A cos & thgr; - V _B sin & thgr; (13, 47)

(b) Wenn die Last zwischen X und B liegt:

P _X = H _A cosθ + V _A sinθ (13, 48)

Radialschere in der Bogenrippe:

Für die Gestaltung eines Abschnitts müssen die Werte für Biegemoment, Schub und Normalschub bekannt sein. Die Methode zur Bestimmung des Biegemoments und des Normalschubs. In diesem Artikel wird die Bewertung der Radialscherung erläutert.

Wenn sich die bewegliche Last W zwischen A und X befindet, ist die radiale Scherung S _X in einem Schnitt wie bei normalem Schub gegeben durch:

Einflusslinien für Bogenrippe:

In den vorangegangenen Artikeln wurde das Verfahren zur Bestimmung von Momenten, Schub und Schub für jeden Abschnitt für statische Lasten erörtert. Bei Brücken sind die Fahrzeuge, die die Brücke tragen soll, nicht statisch, sondern beweglich. Daher muss die Bewertung von Moment, Schub und Schub mit Hilfe von Einflusslinien erfolgen. Methode zum Zeichnen von Einflusslinien für zwei Parabelbogen mit Scharnier.

Einflusslinien für Parabelbögen mit zwei Scharnieren:

Einflusslinien für den horizontalen Schub auf Abutments:

Der Horizontalschub in einem zweigelenkigen Bogen, der eine konzentrierte Lasteinheit in P in einem Abstand von "a" vom Ursprung trägt, ist gegeben durch

Das vollständige Diagramm der Einflusslinie für Schub, H ist in Abb. 13.12b dargestellt. Die Koeffizienten für die Ordinaten des Einflussliniendiagramms für verschiedene Werte von 'a' sind in Tabelle 13.1 angegeben.

Hinweis:

(a) Die Ordinaten für das IL-Diagramm = Koeffizient x L / r.

(b) Der Schub aufgrund einer konzentrierten Last W = Ordinate x W.

Einflussliniendiagramm für Biegemoment an einem Abschnitt X:

Das Einflussliniendiagramm für das Moment bei X (verallgemeinertes Diagramm) ist in Fig. 13.13a gezeigt und das gleiche bei x = 0, 25L und x = 0, 5L (dh an der Krone) sind in Fig. 13.13b gezeigt, die Koeffizienten für die Ordinaten für Momente an verschiedenen Abschnitten (dh x = 0, 0, 1L, 0, 2L usw.) für verschiedene Lastpositionen (dh a = 0, 0, 1L, 0, 2L usw.) sind in Tabelle 13.2 gezeigt.

Die Ordinaten für das Einflussliniendiagramm werden durch Multiplizieren der Koeffizienten mit L erhalten. Das Moment M _X für eine konzentrierte Last W = Koeffizient x WL.

Einflussliniendiagramm für Normalschub in Abschnitt X:

Ein normaler Schub in einem beliebigen Abschnitt X wird unter Verwendung der Gleichung 13.47 oder 13.48 erhalten, dh P _X = H _A cos & thgr; - V _B sin & thgr; oder H _A cos & thgr; + V _A sin & thgr; abhängig davon, ob sich die Last links oder rechts von Abschnitt X befindet beziehungsweise.

Die Einflusslinien für VA sinθ und Vb sinθ sind zwei parallele Linien mit End-Ordinaten gleich sinθ, da VA oder VB für die Einheitsbewegungslast an den Enden eins werden. Die Einflusslinie für H cos θ ist cos θ-mal die Einflusslinie für H, wie sie zuvor erhalten wurde. Das Einflussliniendiagramm für P _X ist in Abb. 13.14a dargestellt.

Einflussliniendiagramm für die radiale Scherung bei X:

Die radiale Scherung bei X ist durch die Gleichung S _X = H _A sin & thgr; + V _B cos & thgr; oder H _A sin & thgr; - V _A cos & thgr; gegeben, abhängig davon, ob die Einheitslast links oder rechts von Abschnitt X liegt.

Die Einflusslinien für VA cosθ und VB cosθ sind zwei parallele Linien mit End-Ordinaten gleich cosθ mit der Einheitsbewegungslast. Die Einflusslinie für H sinθ ist das sinθ-fache der Einflusslinie für H, wie sie zuvor erhalten wurde. Das endgültige Einflussliniendiagramm für die radiale Scherung bei X ist in Abb. 13.14b dargestellt.

Einflussliniendiagramm für dreigelenkige Bögen und feste Bögen:

Die Einflussliniendiagramme für Stöße auf Widerlager, Momente, Normalstöße und Radialschub in einem Abschnitt X für drei Klappbögen und Festbögen können auf dieselbe Weise gezeichnet werden, wie dies bei zwei Klappbögen erläutert wurde.

Zur Orientierung sind in Abb. 13.15 die Diagramme der Einflusslinien für den horizontalen Schub, H und das Moment in Abschnitt X für einen dreigelenkigen Parabelbogen und für einen festen Parabelbogen in Abb. 13.16 dargestellt.

Einflussdiagramme für Momente an den Abschnitten x = 0, 2L und x = 0, 4L für den Dreigelenkbogen und an den Abschnitten x = 0, 2L und x = 0, 5L für feste Parabelbögen sind in Abb. 13.17a bzw. 13.17b dargestellt. Die Koeffizienten für die Ordinaten für Schub, H und Momente in verschiedenen Abschnitten sowohl für dreigelenkige als auch für feste Parabelbögen sind in Tabelle 13.3, 13.4, 13.5 und 13.6 angegeben.

Hinweis:

(a) Die Ordinate für das Einflussliniendiagramm = Koeffizient x L / r.

(b) Der Schub aufgrund einer konzentrierten Last, W = Ordinate x W.

Hinweis:

(a) Die Ordinate des IL-Diagramms = Koeffizient x L / r.

(b) Der Schub, H für eine Punktlast, W = Koeffizient. x WL / r = Ordinate x W.

Verwendung von Influence Line-Koeffizienten bei der Bewertung von Schub und Momenten bei statischen Lasten:

Die Einflussliniendiagramme werden zur Bewertung des maximalen horizontalen Schubes, Momentes usw. für sich bewegende Lasten verwendet. Diese Einflussliniendiagramme und -tabellen können auch zur Bestimmung von Schub, Moment usw. für jede statische Belastung verwendet werden.

Illustratives Beispiel 2:

Schieben Sie den Schub und die Momente für den Parabelbogen wie in Beispiel 13.2 und Abb. 13.9 anhand von Einflussliniendiagrammen und Koeffizienten aus.

Lösung:

Aus Tabelle 13.1 sind die Koeffizienten für den Schub für die Einheitslast bei 0, 25 l, 0, 5 l und 0, 75 l 0, 1392, 0, 1953 bzw. 0, 1392.

Schub wie zuvor bestimmt = 455 KN. Daher stimmt der Wert, der durch die Verwendung von Einflusslinienkoeffizienten erhalten wird, mit dem vorherigen Wert überein, der unter Verwendung von Formeln berechnet wurde.

Die Koeffizienten für Momente bei C (x = 0, 25 L), D (x = 0, 5 L) und E (x = 0, 75 L) für Lasten bei C (a = 0, 25 L), D (a = 0, 5 L) und E (a = 0, 75L) wie folgt:

Koeffizienten bei C oder E (dh bei 0, 25 l oder 0, 75 l):

Koeffizienten bei D (dh 0, 5 l):

Daher stimmen die durch Verwendung des Einflusslinienkoeffizienten erhaltenen Werte mit denen der Formel überein. Die kleine Abweichung ist auf die in der Tabelle verwendeten ungefähren Koeffizienten (bis zu drei Dezimalstellen) zurückzuführen. Obwohl es annähernd ist, ist das Verfahren unter Verwendung von Einflusslinienkoeffizienten sehr schnell und als solches hat es einen Vorteil gegenüber dem zuvor verwendeten Verfahren.